דיסקרימיננטה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזרות |
עריכה |
||
שורה 1:
ב[[אלגברה]], '''דיסקרימיננטה''' היא שמם המשותף של כמה מדדים מספריים הקשורים
▲ב[[אלגברה]], '''דיסקרימיננטה''' היא שמם המשותף של כמה מדדים מספריים הקשורים לאובייקטים מורכבים יותר. במקרים רבים הדיסקרימיננטה מוגדרת [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] כפל ב[[מספר ריבועי]].
ב[[תורת השדות]], ובפרט ב[[תורת המספרים האלגברית]], מוגדרת הדיסקרימיננטה של [[הרחבה של שדות]]. יש דיסקרימיננטה גם ל[[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]]
== דיסקרימיננטה של פולינום ==
כל פולינום <math>\ f(x)</math> בעל מקדמים בשדה F אפשר [[שדה פיצול|לפצל]] בשדה מתאים, לפעמים גדול יותר (לדוגמה, לפולינום [[מספר רציונלי|רציונלי]] או [[מספר ממשי|ממשי]] כל הפתרונות נמצאים ב[[שדה המספרים המרוכבים]]). אם הפולינום [[פולינום מתוקן|מתוקן]] ממעלה n, מגדירים את ה'''דיסקרימיננטה''' שלו להיות המכפלה
<math>\ \Delta(f) = \Pi_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j)^2 = (-1)^{n \choose 2}\Pi_{i \neq j} (\alpha_i - \alpha_j)</math>, כאשר <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n</math> הם שורשי הפולינום. אם [[פולינום|המקדם המוביל]] של הפולינום הוא <math>\ a</math>, יש להכפיל את התוצאה ב- <math>\ a^{2(n-1)}</math>. בפרט, הדיסקרימיננטה שווה לאפס אם ורק אם יש לפולינום שורשים חוזרים.
מכיוון שהחלפת סדר השורשים אינה משנה את <math>\ \Delta(f)</math>, נובע מן [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] ש- <math>\ \Delta(f)\in F</math>. זו הסיבה לכך שקיימת נוסחה פולינומית לחישוב הדיסקרימיננטה מתוך המקדמים של הפולינום.
כאשר f הוא פולינום שמקדמיו שייכים ל[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] נתון (כגון, [[חוג המספרים השלמים|המספרים השלמים]]), הדיסקרימיננטה שלו שייכת ל[[אידאל (אלגברה)|אידאל]] הנוצר על ידי f והנגזרת שלו, <math>\ f'</math> (ראו גם: [[רזולטנט]]).
=== דיסקרימיננטה של פולינום ריבועי ===
[[משוואה ריבועית]] מהצורה <math>\ ax^2+bx+c=0 </math> (כאשר <math>\ a</math> אינו אפס), מעל [[שדה סדור]], ניתנת לפתרון באמצעות נוסחת השורשים. ה'''דיסקרימיננטה'''
*
*
*
==דיסקרימיננטה של הרחבת שדות==
שורה 34 ⟵ 31:
אם <math>\ F \subseteq K \subseteq L</math> שרשרת של הרחבות, עם בסיס <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n</math> להרחבה K/F ובסיס <math>\ \beta_1,\dots,\beta_m</math> להרחבה L/K, אז אוסף המכפלות <math>\ \alpha_i \beta_j</math> מהווה בסיס להרחבה L/F. את הדיסקרימיננטה של בסיס זה אפשר לחשב לפי הנוסחה <math>\ disc(\alpha_i\beta_j)=disc(\alpha_i)^{[L:K]}N_{K/F}(disc(\beta_j))</math>, כאשר <math>\ N_{K/F}</math> היא ה[[נורמה (אלגברה)|נורמה]] בהרחבה K/F.
הדיסקרימיננטה (ובעיקר זו של בסיסים שלמים) היא כלי טכני מרכזי בחקירת הרחבות של [[שדה מספרים|שדות מספרים]]. מ[[משפט מינקובסקי]] נובע שיש רק מספר סופי של הרחבות ממימד קבוע עם דיסקרימיננטה נתונה. ב-1925 שיער [[אמיל ארטין]] שאפשר יהיה להוכיח, באמצעות [[תורת שדות המחלקה]], שהדיסקרימיננטה מפרידה בין הרחבות: אם לשתי הרחבות של שדות מספרים יש אותן חתימה, חבורת גלואה ודיסקרימיננטה, אז הן, כביכול, איזומורפיות זו לזו. בשנת 1930 הראו A. Scholz ו[[אולגה טוד-טאוסקי]] שיש ארבע הרחבות שונות ממימד 3 של הרציונליים (כולן [[הרחבה ציקלית|ציקליות]] ולא ממשיות), עם דיסקרימיננטה 3299-; מאז התגלו דוגמאות רבות אחרות.
[[קטגוריה:אלגברה]]
| |||