מספר p-אדי – הבדלי גרסאות

ב[[תורת המספרים]] וענפים שונים במתמטיקה, '''מספר p-אדי''' הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס [[מספר ראשוני|ראשוני]] p, שהוא סופי בצד החזקות השליליות <math>\ p^{-N}</math>, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים ל[[פיתוח עשרוני|שברים העשרוניים]] הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר p, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

 

במספר p-אדי, שצורתו הכללית

עשויים המקדמים <math>\ a_{-N},\dots,a_0,a_1,a_2,\dots</math> להיות [[מספר שלם|מספרים שלמים]] כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח <math>\ 0\leq a_k <p</math>, ועל-כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.

מבין מספרים ה-p-אדיים, '''השלמים ה-p-אדיים''' הם הביטויים <math>\ a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \dots</math>, שבהם אין חזקות שליליות של p.

 

בין מספרים ה-p-אדיים a ו- b מגדירים [[מטריקה|מרחק]] לפי חזקת p הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש - ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר. תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה [[טור מתכנס]], משום שהגורמים <math>\ a_n p^n</math> הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה <math>\ 1,p,p^2,p^3,\dots</math> שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה <math>\ 1,p^{-1},p^{-2},\dots</math> היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

 

כל [[מספר רציונלי]] ניתן להציג, באופן יחיד, בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי. לדוגמה,

 

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

 

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], הקרוי [[שדה המספרים ה-p-אדיים]]. אוסף השלמים ה-p-אדיים מהווה [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[חוג מקומי|מקומי]] בשם [[חוג השלמים ה-p-אדיים]], המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין [[חוג המספרים השלמים]] ל[[שדה המספרים הרציונליים]]. לשדה המספרים ה-p אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר ה[[אריתמטיקה]] של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח של[[משוואה דיופנטית]] אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות 7-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעתים קרובות משימה קלה בהרבה.