סכום ישר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תחילת שכתוב |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
[[מתמטיקה|במתמטיקה]], '''סכום ישר''' הוא אובייקט מתמטי המורכב מכמה אובייקטים מאותו סוג ללא "הפרעות" הדדיות ביניהם. אפשר להגדיר סכום ישר של [[מבנים אלגבריים]] כמו [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] או [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]], אבל גם של [[מטריצה|מטריצות]], [[תורת הגרפים|גרפים]], [[קבוצה סדורה|קבוצות סדורות]] או [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]].
הסכום הישר מאפשר לטפל במספר כלשהו של אובייקטים בבת-אחת. אפשר להבחין בין בניה "חיצונית" של סכום ישר, המשלבת מבנים נתונים למבנה אחד גדול, לבין בניה "פנימית", המזהה שמבנה נתון מורכב מתת-מבנים שלו. ההבדל אינו פורמלי, משום שבשתי הדרכים מקבלים מבנים איזומורפיים.
שורה 11:
הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים <math>\ A_i</math>, הוא אובייקט <math>\ B=\coprod A_i</math>, עם מורפיזמים <math>\ \iota_i {:} A_i \rightarrow B</math>, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט <math>\ C</math> בקטגוריה עם מורפיזמים <math>\ f_i{:}A_i\rightarrow C</math>, קיים מורפיזם יחיד <math>\ f{:}B \rightarrow C</math> כך ש- <math>\ f_i = f \iota_i</math>. אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
== סכום ישר של
אם <math>\ V
המרחב החדש מכיל את שני המרחבים <math>\ \{(v,0) : v \in V\}, \{(0,w): w\in W\}</math>, וכל וקטור שלו אפשר להציג באופן יחיד כסכום של וקטור מן הסוג הראשון ווקטור מן הסוג השני. תכונות אלה מציעות הגדרה של '''סכום ישר פנימי''': אם <math>\ V</math> הוא [[מרחב וקטורי]], עם תת-מרחבים <math>\ U</math> ו-<math>\ W</math>, ואפשר להציג כל וקטור של <math>\ V</math> כסכום של וקטור מ- <math>\ U</math> ועוד וקטור מ- <math>\ W</math>, אז אומרים ש- <math>\ V</math> הוא '''סכום''' של <math>\ U</math> ושל <math>\ W</math>, וכותבים <math>\ V=U+W</math>. אם הצגה כזו היא תמיד יחידה, אז הסכום הוא '''סכום ישר''', אותו מסמנים ב-<math>\ V=U\oplus W</math> (תנאי שקול לזה: <math>\ V=U+W</math> כאשר אין ל- U ול- W וקטורים משותפים מלבד [[0 (מספר)|0]]). מכיוון שהמרחבים <math>\ V,W</math> איזומורפיים לתת-המרחבים <math>\ \{(v,0)\}</math> ו-<math>\ \{(0,w)\}</math>, בהתאמה, הסכום הישר ה"חיצוני" הוא גם סכום ישר פנימי של תת-מרחבים וקטוריים, <math>\ V\oplus W = (V\oplus 0)+(0\oplus W)</math>, ולהיפך.
===סכום ישר של מרחבי מכפלה פנימית===▼
הסכום הישר של [[מרחב מכפלה פנימית|מרחבי מכפלה פנימית]] <math>\ U,V</math> הוא המרחב הווקטורי <math>\ U\oplus V</math> שהוגדר לעיל, עם המכפלה הפנימית <math>\langle u_1\oplus v_1,u_2 \oplus v_2 \rangle \equiv \langle u_1,u_2 \rangle + \langle v_1,v_2\rangle </math>. באופן זה תת-המרחבים <math>\ U\oplus 0</math> ו- <math>\ 0\oplus V</math> מאונכים זה לזה, וכך מתקיים [[משפט פיתגורס]]: ריבוע ה[[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] של <math>\ u+v</math> שווה לסכום ריבועי הנורמות של <math>\ u</math> ושל <math>\ v</math> (כאשר <math>\ u\in U, v\in V</math>). תכונה זו מכלילה את הסכום הישר של [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]]. ▼
ההגדרה מכבדת גם את המבנה הטופולוגי של המרחבים הווקטוריים (המושרה על ידי ה[[מרחב נורמי|נורמה]]): סדרה ▼
<math>\ \{u_n+v_n\}</math> מתכנסת לגבול <math>\ u+v</math> אם ורק אם שתי סדרות הרכיבים מתכנסות ל- <math>\ u</math> ו- <math>\ v</math>, בהתאמה. בפרט, סכום ישר של שני מרחבי הילבט הוא מרחב הילברט.▼
במקרה המיוחד של <math>\ \mathbb{R}^n</math> או <math>\ \mathbb{C}^n</math>, '''[[מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]] הסטנדרטית''' מתקבלת מחיבור חוזר של המכפלות הפנימיות הטבעיות על <math>\ \mathbb{R}</math> או <math>\ \mathbb{C}</math> (<math>\ \langle a,b\rangle = ab</math> במקרה הראשון, <math>\ \langle a,b\rangle = a\bar{b}</math> בשני).▼
הסכום הישר של מרחבים וקטוריים הוא מקרה פרטי של סכום ישר של מודולים. נניח ש- <math>\ M,N</math> הם [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים שמאליים]] מעל [[חוג (אלגברה)|חוג]] <math>\ R</math>. אפשר להגדיר את המודול <math>\,M \oplus N</math>, כקבוצה הכוללת את כל הזוגות <math>\ (m,n)</math> (עם <math>\ m\in M, n\in N</math>), והפעולות לפי רכיבים כבמקרה של מרחבים וקטוריים. גם כאן אפשר להגדיר סכום ישר פנימי, המתלכד עם הסכום הישר החיצוני.
סכום ישר של עותקים של החוג (כמודול מעל עצמו) נקרא [[מודול חופשי]]. מודול M הוא חופשי אם ורק אם יש לו '''בסיס''', כלומר קבוצת איברים <math>\ e_1,\dots,e_n</math> כך שכל איבר אפשר להציג באופן יחיד כצירוף ליניארי <math>\ r_1e_1+\cdots+r_ne_n</math> עבור <math>\ r_1,\dots,r_n\in R</math>.
==סכום ישר של מבנים אלגבריים==▼
אפשר לראות כל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (בין אם היא [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]] ובין אם [[אלגברה לא אסוציאטיבית|לאו]]) כמודול מעל חוג עם מכפלה בילינארית. לכן, עבור שתי אלגברות <math>\ A,B</math> מעל אותו חוג <math>. R</math> נגדיר את <math> A\oplus B</math> באותו אופן שהגדרנו את הסכום עבור שני מודולים, ואת המכפלה (<math>\ a_1,a_2\in A, b_1,b_2\in B</math>) על ידי
▲===סכום ישר של שני מודולים ימניים===
▲===סכום ישר של חוג עם עצמו===
▲===סכום ישר של מרחבי מכפלה פנימית===
▲הסכום הישר של [[מרחב מכפלה פנימית|מרחבי מכפלה פנימית]] <math>\ U,V</math> הוא המרחב הווקטורי <math>\ U\oplus V</math> שהוגדר לעיל, עם המכפלה הפנימית <math>\langle u_1\oplus v_1,u_2 \oplus v_2 \rangle \equiv \langle u_1,u_2 \rangle + \langle v_1,v_2\rangle </math>. באופן זה תת-המרחבים <math>\ U\oplus 0</math> ו- <math>\ 0\oplus V</math> מאונכים זה לזה, וכך מתקיים [[משפט פיתגורס]]: ריבוע ה[[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] של <math>\ u+v</math> שווה לסכום ריבועי הנורמות של <math>\ u</math> ושל <math>\ v</math> (כאשר <math>\ u\in U, v\in V</math>). תכונה זו מכלילה את הסכום הישר של [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]].
▲במקרה המיוחד של <math>\ \mathbb{R}^n</math> או <math>\ \mathbb{C}^n</math>, '''[[מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]] הסטנדרטית''' מתקבלת מחיבור חוזר של המכפלות הפנימיות הטבעיות על <math>\ \mathbb{R}</math> או <math>\ \mathbb{C}</math> (<math>\ \langle a,b\rangle = ab</math> במקרה הראשון, <math>\ \langle a,b\rangle = a\bar{b}</math> בשני).
▲ההגדרה מכבדת גם את המבנה הטופולוגי של המרחבים הווקטוריים (המושרה על ידי ה[[מרחב נורמי|נורמה]]): סדרה
▲<math>\ \{u_n+v_n\}</math> מתכנסת לגבול <math>\ u+v</math> אם ורק אם שתי סדרות הרכיבים מתכנסות ל- <math>\ u</math> ו- <math>\ v</math>, בהתאמה. בפרט, סכום ישר של שני מרחבי הילבט הוא מרחב הילברט.
▲===סכום ישר של מטריצות ריבועיות===
אם A ו- B הן שתי [[מטריצה ריבועית|מטריצות ריבועיות]] בגודל n ו- m בהתאמה, אז הסכום הישר <math>\ A\oplus B</math> הוא המטריצה <math>\ \left(\begin{matrix}A & 0\\ 0 & B\end{matrix}\right)</math>, בגודל n+m. אם V ו- W הם מרחבים וקטוריים ו- A,B המטריצות המייצגות של העתקות <math>\ T{:}V\rightarrow V</math> ו- <math>\ S{:}W\rightarrow W</math> בהתאמה (ביחס לבסיסים <math>\ B_V</math> ו- <math>\ B_W</math>), אז <math>\ A\oplus B</math> היא המטריצה המייצגת של ההעתקה <math>\ (T,S){:} V\oplus W\rightarrow V\oplus W</math> המוגדרת לפי <math>\ (T,S)(v,w)=(T(v),S(w))</math> (ביחס לבסיס <math>\ B_V \cup B_W</math>).
הסכום הישר מקיים <math>\ (A\oplus B)+(A'\oplus B') = (A+A') \oplus (B+B')</math> ו- <math>\ (A\oplus B)(A'\oplus B') = AA' \oplus BB'</math>.
▲אפשר לראות כל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (בין אם היא [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]] ובין אם [[אלגברה לא אסוציאטיבית|לאו]]) כמודול מעל חוג עם מכפלה בילינארית. לכן, עבור שתי אלגברות <math>\ A,B</math> מעל אותו חוג <math>. R</math> נגדיר את <math> A\oplus B</math> באותו אופן שהגדרנו את הסכום עבור שני מודולים, ואת המכפלה (<math>\ a_1,a_2\in A, b_1,b_2\in B</math>) על ידי:
==ראו גם==
| |||