מספר p-אדי – הבדלי גרסאות

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

 

 

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], הקרוי [[שדה המספרים ה-p-אדיים]]. אוסף השלמים ה-p-אדיים מהווה [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[חוג מקומי|מקומי]] בשם [[חוג השלמים ה-p-אדיים]], המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין [[חוג המספרים השלמים]] ל[[שדה המספרים הרציונליים]]. לשדה המספרים ה-p אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר ה[[אריתמטיקה]] של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח של[[משוואה דיופנטית]] אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות 7-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעתים קרובות משימה קלה בהרבה.