אידיאל נילי – הבדלי גרסאות

ב[[תורת החוגים]], '''אידיאלאידאל נילי''' הוא [[אידאל (אלגברה)|אידיאלאידאל]] שכל איבריו [[איבר נילפוטנטי|נילפוטנטיים]]. מכיוון שסכום של אידיאליםאידאלים ניליים גם הוא נילי, סכום כל האידיאליםהאידאלים הניליים בחוג הוא אידיאלאידאל נילי, המכונה [[הרדיקל הנילי העליון]].

תת-קבוצה S של חוג, שכל איבריה נילפוטנטיים, נקראת '''קבוצה נילית'''. אם קיים n כך שהמכפלה <math>\ s_1 \dots s_n</math> מתאפסת לכל <math>\ s_1,\dots,s_n \in S</math> אז S היא '''קבוצה נילפוטנטית'''. קל לראות שהאידיאלשהאידאל השמאלי <math>\ Ra</math> הוא נילי אם ורק אם האידיאלהאידאל הימני <math>\ aR</math> הוא כזה.

אידיאלאידאל הוא '''נילפוטנטי מקומית''', אם תת-החוג הנוצר על- ידי מספר יוצרים סופי מאברי האידאל הוא תמיד נילפוטנטי (אם כי דרגת הנילפוטנטיות עשויה להיות תלויה בבחירת היוצרים). כל אידיאלאידאל נילפוטנטי הוא נילפוטנטי מקומית, וכל אידיאלאידאל נילפוטנטי מקומית הוא נילי; הטענות ההפוכות אינן נכונות בדרך כלל. עם זאת, ב[[חוג נותרי|חוגים נותריים]], כל אידיאלאידאל שמאלי נילי הוא [[אידיאלאידאל נילפוטנטי]]<ref>Ring Theory, L. Rowen, Theorem 2.6.23.</ref>. [[חוג ראשוני]] שאין בו אידיאליםאידאלים ניליים נקרא '''strongly prime'''.

== סכום של אידיאליםאידאלים ניליים ==

<ref>לדוגמאלדוגמה, הסכום או המכפלה של יחידות המטריצות <math>\ e_{12}, e_{21}</math> אינם נילפוטנטיים.</ref>.

לעומת זאת, ההנחה שאיבר שייך לאידיאללאידאל נילי היא חזקה ביותר. כל האיברים מסוג זה מרכיבים יחדיו את האידיאלהאידאל הנילי הגדול ביותר, שהוא [[רדיקל (תורת החוגים)|רדיקל]] הנקרא [[הרדיקל הנילי העליון]] של החוג. אידאל זה שווה לחיתוך של כל ה[[אידאל ראשוני|אידאלים הראשוניים]]. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל הנילי כולל את כל האיברים הנילפוטנטיים, ושווה ל[[רדיקל של אידאל|רדיקל]] של אידאל האפס בחוג.

בדומה לזה, [[רדיקל לויצקי]] הוא האידיאלהאידאל השמאלי הנילפוטנטי-מקומית הגדול ביותר, והוא אידיאלאידאל דו-צדדי. קיומם של רדיקלים אלה מוכיח שסכום (כלשהו) של אידיאליםאידאלים ניליים הוא תמיד נילי, והסכום של אידיאליםאידאלים נילפוטנטיים-מקומית הוא תמיד נילפוטנטי-מקומית. אפילו הסכום של אידיאליםאידאלים שמאליים נילפוטנטיים-מקומית הוא נילפוטנטי-מקומית. לעומת זאת, לא ידוע האם סכום של אידיאליםאידאלים שמאליים ניליים הוא תמיד נילי - זהו התוכן של [[השערת קתה]], שהיא אחת ההשערות הפתוחות המרכזיות בתורת החוגים.

כאשר מדובר באידיאליםבאידאלים נילפוטנטיים התמונה שונה: הסכום של מספר סופי של אידיאליםאידאלים (שמאליים) נילפוטנטיים, הוא נילפוטנטי, אבל סכום של מספר כלשהו של אידיאליםאידאלים נילפוטנטיים אינו בהכרח כזה. סכום כל האידיאליםהאידאלים הנילפוטנטיים בחוג הוא נילי, אבל בדרך כלל אינו נילפוטנטי.