השערת המספרים הראשוניים התאומים – הבדלי גרסאות

ממשפט המספרים הראשוניים נובע שהסיכוי של מספר טבעי להיות ראשוני, כאשר בוחרים אותו באקראי מבין המספרים מ-1 עד x, הוא <math>\ \frac{1}{\log x}</math>. אם הראשוניות של המספר a ושל המספר a+2 היו מאורעות [[תלות (הסתברות)|בלתי תלויים]], אז אפשר היה לצפות שהסיכוי של a להיות הקטן מבין צמד של ראשוניים תאומים הוא <math>\ \frac{1}{(\log x)^2}</math>. מתברר שניתוח זה הוא פשטני מדי: הוא מתעלם מכך שאם a הוא הקטן מבין ראשוניים תאומים, אז יש לו p-2 שאריות אפשריות בחלוקה במספר ראשוני קטן p, בעוד שאם a הוא ראשוני סתם, יש לו p-1 שאריות אפשריות.

 

:<math>C_2 = \prod_{p\ge 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx