הבדלים בין גרסאות בדף "משפט וילסון"

נוספו 305 בתים ,  לפני 11 שנים
←‏הוכחה: הוספת הוכחה של הכיוון ההפוך
מ (שוחזר מעריכות של Evp55555 (שיחה) לעריכה האחרונה של Luckas-bot)
(←‏הוכחה: הוספת הוכחה של הכיוון ההפוך)
 
נניח ש- p ראשוני. לכל <math>\ 1\leq a < p</math> קיים b יחיד באותו טווח, המקיים <math>\ ab \equiv 1 \pmod{p}</math> (זהו ההפכי של a ב[[חבורת אוילר]] <math>\ U_p</math>). אם a הפוך לעצמו אז <math>\ p |(a-1)(a+1)</math>, ולכן המספרים היחידים ההפוכים לעצמם הם 1 ו- p-1. מכאן שבמכפלה <math>\ (p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot \dots (p-1)</math>, כל המספרים פרט ל- 1 ו- p-1 מסודרים בזוגות שמכפלתם 1, ולכן המכפלה כולה שקולה מודולו p ל- 1-.
 
כדי להוכיח את הכיוון ההפוך נניח בשלילה ש- p [[מספר פריק]]. אזי ל-P יש [[מחלק]] d כך שמתקיים 1<d<p-1 . ברור ש-d מחלק את (p-1)! , אבל לפי ההנחה d מחלק את (p-1)!+1 ולכן p=1. זו סתירה, לכן P ראשוני.
 
 
אותה הוכחה מתאימה לתוצאה כללית יותר: מכפלת כל האיברים בחבורה אבלית סופית שווה למכפלת ה[[אינוולוציה (תורת החבורות)|איברים מסדר 2]] בחבורה.
24

עריכות