חבורה טופולוגית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: דוגמה; על ידי; |
|||
שורה 29:
במחלקה הבאה נמצאות חבורות האוסדורף [[מרחב קומפקטי מקומית|קומפקטיות מקומית]] (המונח "חבורה קומפקטית מקומית" כולל, כעניין של הגדרה, גם את תכונת האוסדורף). כל תת-חבורה קומפקטית מקומית של חבורה קומפקטית מקומית היא סגורה. התכונה החשובה ביותר של חבורות כאלה הוא קיום של [[מידת האר]] יחידה: זוהי [[מידת בורל]] ממשית [[מידה רגולרית|רגולרית]] (מבפנים על קבוצות פתוחות, ומבחוץ על קבוצות בורל) <math>\ \mu</math>, שהיא סופית על קבוצות קומפקטיות, ואינווריאנטית משמאל - <math>\ \mu(xA)=\mu(A)</math>. היחידות היא עד-כדי כפל בקבוע חיובי. באותו אופן קיימת גם מידת האר יחידה שהיא אינווריאנטית מימין.
הדוגמה הטיפוסית לחבורה קומפקטית מקומית היא [[חבורת לי]], למשל [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות]] <math>\ GL_n(\mathbb{R})</math>. בכל חבורה קומפקטית מקומית G, מרכיב הקשירות של איבר היחידה <math>\ G^0</math> הוא גבול הפוך של חבורות לי, והמנה <math>\ G/G^0</math> [[מרחב לא קשיר לחלוטין|בלתי קשירה לחלוטין]].
'''חבורת הקרקטרים''' של חבורה טופולוגית אבלית A היא החבורה של כל ההומומורפיזמים מ-A אל מעגל היחידה <math>\ S^1</math>(עם פעולת הכפל של מספרים מרוכבים); את החבורה הזו, שגם היא חבורה טופולוגית ביחס לטופולוגיה המתאימה, מסמנים ב-<math>\ \widehat{A}</math>. לדוגמה, חבורת הקרקטרים של <math>\ \mathbb{Z}</math> היא <math>\ S^1</math>, ולהיפך. חבורת הקרקטרים של המספרים הממשיים (ביחס לחיבור, עם הטופולוגיה הרגילה) איזומורפית לחבורה עצמה. לפי "דואליות פונטריאגין", <math>\ \widehat{\widehat{A}} \cong A</math> לכל חבורה קומפקטית; van Kampen הכליל את המשפט לחבורות קומפקטיות מקומית.
| |||