משוואה דיפרנציאלית רגילה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט משנה: ro:Ecuație diferențială ordinară |
קישור פנימי לא בכותרת |
||
שורה 16:
עבור משוואות מסדר ראשון קיים [[משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)|משפט קיום ויחידות]] המבטיח עבור אוסף רחב של משוואות כי לכל תנאי התחלה קיים פתרון והוא יחיד.
====
[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] מסדר ראשון היא משוואה מהצורה <math>\ y'+h(x)y+g(x)=0</math>. כלומר, הן הפונקציה והן נגזרתה מופיעות לבדן ולא כחלק מפונקציה מורכבת (למשל <math>\ \ln(y)</math>). הפונקציה הנעלמת מוכפלת בפונקציה כלשהי של <math>\ x</math> ופונקציה נוספת של <math>\ x</math> היא "גורם חופשי" של המשוואה.
משוואות לינאריות ניתנות תמיד לפתרון, והדרך לפתרונן ישירה.
שורה 49:
===משוואות מסדר שני===
באופן כללי, משוואה מסדר שני מתוארת על ידי הפונקציה <math>\ F\left(y,y',y'',x\right)=0</math>. משוואות מסדר שני קשות לפתרון יותר מאשר משוואות מסדר ראשון, אך קיימות שיטות פתרון יעילות עבור משוואות '''לינאריות''' מסדר שני. שיטות אלו הן מקרים פרטיים של השיטות הכלליות לטיפול במשוואה לינארית מסדר כלשהו, אך בשל פשטותן היחסית הן יותר קלות לשימוש ולהבנה מאשר השיטות הכלליות.
====
[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה <math>\ y''+p(x)y'+q(x)y=0</math>. סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו גם הוא פתרון, ועל כן הפתרונות מהווים [[מרחב וקטורי]], לכן ניתן למצוא בסיס למרחב זה, כלומר שני פתרונות פרטיים [[תלות לינארית|בלתי תלויים]] של המשוואה כך ש'''כל''' פתרון של המשוואה יכול להיכתב כצירוף לינארי שלהם.
[[תנאי הכרחי ומספיק]] לכך ששני פתרונות יהוו בסיס מובע באמצעות מטריצה של הפונקציות ונגזרותיהן הראשונות, הנקראת [[ורונסקיאן]].
| |||