חבורת התמורות הזוגיות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
דיוק |
|||
שורה 1:
ב[[תורת החבורות]], '''חבורת התמורות הזוגיות''' הוא שמה של [[תת חבורה]] מסוימת וחשובה של [[החבורה הסימטרית]]. לכל [[מספר טבעי]] <math>\ 1<n</math>, מחצית מבין <math>\ n!</math> ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] בחבורה הסימטרית <math>\ S_n</math> הן בעלות [[סימן (תורת החבורות)|סימן]] <math>\ +1</math>, ומחצית הן בעלות סימן <math>\ -1</math>. הקבוצה של <math>\ \frac{n!}{2}</math> התמורות בעלות סימן חיובי היא תת-חבורה מ[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] 2 של <math>\ S_n</math> - חבורת התמורות הזוגיות. מקובל לסמן חבורה זו באות <math>\ A_n</math> (Alternating Group). בעקבות המיון של [[מערכת שורשים|מערכות שורשים]], סימון זה מתאר בהקשרים אחרים גם את הטיפוס של החבורה הסימטרית עצמה, בתור [[חבורת קוקסטר]].
כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של [[תמורה (מתמטיקה)#סוגי תמורות|חילופים]] (טרנספוזיציות). ניתן להציג תמורה נתונה כמכפלה של חילופים באופנים שונים, ומספרם של החילופים אינו בהכרח קבוע; עם זאת, ה'''זוגיות''' של מספר החילופים, כלומר השארית בחלוקה לשתיים, אינה משתנה. חבורת התמורות הזוגיות כוללת את התמורות שהן מכפלת [[מספר זוגי]] של חילופים. מכיוון שסימן של מכפלת תמורות שווה למכפלת הסימנים (<math>\ \mbox{sgn} (\tau\cdot\sigma)=\mbox{sgn}(\tau)\cdot \mbox{sgn}(\sigma)</math>), מכפלה של תמורות זוגיות היא זוגית, ולכן אוסף התמורות הזוגיות מהווה חבורה.
| |||