משפט התיכון

בגאומטריית המישור, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

AD תיכון ל-BC

השטח הירוק ועוד השטח הכחול שווה לשטח האדום

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: $AB^{2}+AC^{2}=2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}$

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים:

$\ mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}$

במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

הוכחה

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם $\angle ABC>{\frac {\pi }{2}}$ אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2p\cdot BC$

נעביר אגפים, ונקבל: $2p\cdot BC=AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}$

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: $AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2p\cdot BD$

נציב $BD={\frac {BC}{2}}$, ונקבל: $AD^{2}=AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{4}}-p\cdot BC$

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: $2p\cdot BC=2AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}-2AD^{2}$

על פי כלל המעבר, נקבל: $AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}=2AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}-2AD^{2}$

לאחר העברת אגפים, נקבל: $2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}=AB^{2}+AC^{2}$

הוכחה גאומטרית

נסמן $AB=a,AC=b,BC=c$. כמו כן נסמן $AD=x$

אם $a=b$, המשולש שווה שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס.

אחרת, $a\neq b$, נחשב את שטח המשולש $\Delta ABD$ לפי נוסחת הרון:

$S_{\Delta ABD}={\sqrt {{\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-x{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-a{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-{\frac {c}{2}}{\Bigl )}}}=$

${\sqrt {{\Bigl (}{\frac {(a+{\frac {c}{2}})+x}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {(a+{\frac {c}{2}})-x}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x-(a-{\frac {c}{2}})}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+(a-{\frac {c}{2}})}{2}}{\Bigl )}}}=$

${\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {{\Bigl (}(a+{\frac {c}{2}})^{2}-x^{2}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}x^{2}-(a-{\frac {c}{2}})^{2}{\Bigl )}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}$

נחשב את שטח המשולש $\Delta ACD$ ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה:

$S_{\Delta ACD}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}$

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר $S_{\Delta ABD}=S_{\Delta ACD}$. נשווה ביניהם ונמצא את $x$

${\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}$

נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע:

$-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}=-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}$

נסדר את המשוואה:

$x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}-2b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}={\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}$

$2(a^{2}-b^{2})x^{2}={\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}-(b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}+(b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}){\Bigl )}$

$2(a^{2}-b^{2})x^{2}=(a^{2}-b^{2})\cdot {\Bigl (}a^{2}+b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}$

נצמצם ב $a^{2}-b^{2}$ (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי $a\neq b$) ונקבל את התוצאה: $2x^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}$