מספר מחלקה (תורת המספרים)

במתמטיקה ובפרט בתורת המספרים האלגברית מספר המחלקה הוא אינווריאנט מספרי של שדה מספרים (או באופן כללי יותר שדה גלובלי). ערכו של מספר המחלקה מוגדר להיות גודל חבורת המחלקה. מספר המחלקה הוגדר על ידי ריכרד דדקינד שפיתח נוסחה לחישוב מספר זה הנקראת על שמו. עבודותיו של דדקינד התבססו על עבודות מוקדמות יותר של דיריכלה וגאוס שחקרו מושג מקביל בהקשר של תבניות ריבועיות. מנקודת מבט מודרנית, מספר המחלקה שחקרו דיריכלה וגאוס הוא מקרה פרטי של מספר המחלקה של שדה מספרים כאשר שדה המספרים הוא הרחבה ריבועית של $\mathbb {Q}$.

הגדרה פורמלית

בהינתן שדה מספרים $K$ נסמן ב - $O_{K}$ את חוג השלמים ב - $K$. נזכיר שחוג השלמים ב - $K$ הוא אוסף האיברים ב- $K$ שמקיימים משוואה פולינומיאלית מתוקנת עם מקדמים ב - $\mathbb {Z}$. באופן מפורש:

$$O_{K}=\{x\in K|\exists a_{0},\dots a_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ s.t. }}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\dots +a_{0}=0\}$$

החוג $O_{K}$ הוא תחום דדקינד.

חבורת מחלקות האידיאלים של $K$ מוגדת להיות חבורת מחלקות האידיאלים של החוג $O_{K}$. מספר המחלקה של $K$ מוגדר להיות הסדר של חבורה זו.

המקרה של שדה גלובלי כללי

שגיאות פרמטריות בתבנית:להשלים
פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

קשר לתבנית ריבועיות

ערך מורחב – מספר המחלקה (תבניות ריבועיות)

עבור מספר שלם $d$, מספר המחלקה של השדה $\mathbb {Q} \langle {\sqrt {d}}\rangle$ שווה למספר המחלקה של המספר $d$ כפי שהוגדר על ידי גאוס בהקשר של תבניות ריבועיות.

נוסחת מספר מחלקה

דדקינד פיתח נוסחה שקושרת בין מספר המחלקה של שדה $K$ לבין שארית הקוטב של פונקציית זטא של דדקינד של $K$.

ראו גם

• חבורת מחלקות האידיאלים
• נוסחת מספר המחלקה של דדקינד
• מספר המחלקה (תבניות ריבועיות)

לקריא נוספת

• Władysław Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood

קישורים חיצוניים

• מספר מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)