ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.
אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים .דף השיחה .
שדה המספרים הרציונליים (או: השדה הרציונלי ) הוא האוסף של כל השברים (כגון
7
4
,
−
3
14
,
6
1
{\displaystyle \ {\frac {7}{4}},{\frac {-3}{14}},{\frac {6}{1}}}
חיבור והכפל הרגילות. באופן זה, אוסף השברים מהווה שדה סדור , שאבריו הם כל המספרים הרציונליים . כיוון שכל מספר רציונלי הוא מנה של שני מספרים שלמים , מסמנים את השדה ב-
Q
{\displaystyle \ \mathbb {Q} }
Q
{\displaystyle \ \mathbb {Q} }
מאפיין אפס: כל שדה שבו המספרים הטבעיים שונים זה מזה מכיל עותק של
Q
{\displaystyle \ \mathbb {Q} }
הרחבה של השדה הרציונלי. כאשר ממד ההרחבה סופי, איבריו של השדה הם כולם אלגבריים מעל השדה הרציונלי, והוא נקרא שדה מספרים .
באופן פורמלי, בונים את
Q
{\displaystyle \ \mathbb {Q} }
שדה שברים של חוג המספרים השלמים (ראו מערכות מספרים ).
כתת-שדה של השדה הממשי , השדה הרציונלי הוא קבוצה צפופה בת מנייה . השדה הממשי, אם כך, הוא מרחב ספרבילי .
נגדיר יחס שקילות על
Z
×
(
Z
∖
{
0
}
)
{\displaystyle \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})}
(
a
,
b
)
∼
(
c
,
d
)
{\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
יחס שקילות :
רפלקסיביות :
a
b
=
b
a
{\displaystyle ab=ba}
(
a
,
b
)
∼
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\sim (a,b)}
סימטריה : נניח ש
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
חילופי , נקבל
c
b
=
d
a
{\displaystyle cb=da}
(
c
,
d
)
∼
(
a
,
b
)
{\displaystyle (c,d)\sim (a,b)}
טרנזיטיביות : נניח ש
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
c
f
=
d
e
{\displaystyle cf=de}
a
d
c
f
=
b
c
d
e
{\displaystyle adcf=bcde}
c
d
{\displaystyle cd}
a
f
=
b
e
{\displaystyle af=be}
(
a
,
b
)
∼
(
e
,
f
)
{\displaystyle (a,b)\sim (e,f)}
קבוצת המנה של יחס שקילות זה תסומן
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
[
(
a
,
1
)
]
{\displaystyle [(a,1)]}
a
{\displaystyle a}
נגדיר פעולות חיבור וכפל:
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
c
,
d
)
]
=
[
(
a
d
+
b
c
,
b
d
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]}
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
,
d
)
]
=
[
(
a
c
,
b
d
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]}
נראה שההגדרות לא תלויות בנציגים, כלומר אם
(
a
,
b
)
∼
(
a
′
,
b
′
)
{\displaystyle (a,b)\sim (a',b')}
(
c
,
d
)
∼
(
c
′
,
d
′
)
{\displaystyle (c,d)\sim (c',d')}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (ad+bc,bd)\sim(a'd'+b'c',b'd')}
וכן
(
a
c
,
b
d
)
∼
(
a
′
c
′
,
b
′
d
′
)
{\displaystyle (ac,bd)\sim (a'c',b'd')}
חיבור: צריך להוכיח כי
(
a
d
+
b
c
)
b
′
d
′
=
(
a
′
d
′
+
b
′
c
′
)
b
d
{\displaystyle (ad+bc)b'd'=(a'd'+b'c')bd}
a
d
b
′
d
′
+
b
c
b
′
d
′
=
a
′
d
′
b
d
+
b
′
c
′
b
d
{\displaystyle adb'd'+bcb'd'=a'd'bd+b'c'bd}
a
b
′
=
a
′
b
{\displaystyle ab'=a'b}
d
d
′
{\displaystyle dd'}
a
d
b
′
d
′
=
a
′
d
′
b
d
{\displaystyle adb'd'=a'd'bd}
c
d
′
=
c
′
d
{\displaystyle cd'=c'd}
b
b
′
{\displaystyle bb'}
b
c
b
′
d
′
=
b
′
c
′
b
d
{\displaystyle bcb'd'=b'c'bd}
כפל: צריך להוכיח כי
a
c
b
′
d
′
=
b
d
a
′
c
′
{\displaystyle acb'd'=bda'c'}
a
b
′
=
b
a
′
{\displaystyle ab'=ba'}
c
d
′
=
c
′
d
{\displaystyle cd'=c'd}
נראה כי הפעולות מקיימות את אקסיומות השדה :
חיבור:
[
(
a
,
b
)
]
+
(
[
(
c
,
d
)
]
+
[
(
e
,
f
)
]
)
=
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
c
f
+
d
e
,
d
f
)
]
=
[
(
a
d
f
+
b
c
f
+
b
d
e
,
b
d
f
)
]
=
[
(
a
d
+
b
c
,
b
d
)
]
+
[
(
e
,
f
)
]
=
(
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
c
,
d
)
]
)
+
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cf+de,df)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]}
כפל:
[
(
a
,
b
)
]
⋅
(
[
(
c
,
d
)
]
⋅
[
(
e
,
f
)
]
)
=
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
e
,
d
f
)
]
=
[
(
a
c
e
,
b
d
f
)
]
=
[
(
a
c
,
b
d
)
]
⋅
[
(
e
,
f
)
]
=
(
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
,
d
)
]
)
⋅
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot ([(c,d)]\cdot [(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(ce,df)]=[(ace,bdf)]=[(ac,bd)]\cdot [(e,f)]=([(a,b)]\cdot [(c,d)])\cdot [(e,f)]}
חיבור:
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
c
,
d
)
]
=
[
(
a
d
+
b
c
,
b
d
)
]
=
[
(
c
b
+
d
a
,
d
b
)
]
=
[
(
c
,
d
)
]
+
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]=[(cb+da,db)]=[(c,d)]+[(a,b)]}
כפל:
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
,
d
)
]
=
[
(
a
c
,
b
d
)
]
=
[
(
c
a
,
d
b
)
]
=
[
(
c
,
d
)
]
⋅
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]=[(ca,db)]=[(c,d)]\cdot [(a,b)]}
איבר האפס :
[
(
a
,
b
)
]
+
0
=
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
0
,
1
)
]
=
[
(
a
⋅
1
+
b
⋅
0
,
b
⋅
1
)
]
=
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+0=[(a,b)]+[(0,1)]=[(a\cdot 1+b\cdot 0,b\cdot 1)]=[(a,b)]}
איבר היחידה :
[
(
a
,
b
)
]
⋅
1
=
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
1
,
1
)
[
=
[
(
a
⋅
1
,
b
⋅
1
)
]
=
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot 1=[(a,b)]\cdot [(1,1)[=[(a\cdot 1,b\cdot 1)]=[(a,b)]}
איבר נגדי :
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
−
a
,
b
)
]
=
[
(
a
b
−
b
a
,
b
2
)
]
=
[
(
0
,
b
2
)
]
=
[
(
0
,
1
)
]
=
0
{\displaystyle [(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab-ba,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0}
איבר הופכי :
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
b
,
a
)
]
=
[
(
a
b
,
b
a
)
]
=
[
(
1
,
1
)
]
=
1
{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(b,a)]=[(ab,ba)]=[(1,1)]=1}
דיסטריבוטיביות :
[
(
a
,
b
)
]
⋅
(
[
(
c
,
d
)
]
+
[
(
e
,
f
)
]
)
=
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
f
+
d
e
,
d
f
)
]
=
[
(
a
c
f
+
a
d
e
,
b
d
f
)
]
=
[
(
a
c
b
f
+
a
d
b
e
,
b
d
b
f
)
]
=
[
(
a
c
,
b
d
)
]
+
[
(
a
e
,
b
f
)
]
=
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
,
d
)
]
+
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(cf+de,df)]=[(acf+ade,bdf)]=[(acbf+adbe,bdbf)]=[(ac,bd)]+[(ae,bf)]\\&=[(a,b)]\cdot [(c,d)]+[(a,b)]\cdot [(e,f)]\end{aligned}}}
את הסדר על
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
∀
b
,
d
>
0
,
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
⇔
a
d
<
b
c
{\displaystyle \forall b,d>0,[(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow ad<bc}
נניח כי
b
,
d
,
b
′
,
d
′
>
0
{\displaystyle b,d,b',d'>0}
a
d
<
b
c
{\displaystyle ad<bc}
c
d
′
=
c
′
d
{\displaystyle cd'=c'd}
[1]
a
d
′
c
d
<
b
c
′
c
d
{\displaystyle ad'cd<bc'cd}
c
d
{\displaystyle cd}
a
d
′
<
b
c
′
{\displaystyle ad'<bc'}
a
′
b
=
a
b
′
{\displaystyle a'b=ab'}
a
′
d
′
a
b
<
b
′
c
′
a
b
{\displaystyle a'd'ab<b'c'ab}
a
b
{\displaystyle ab}
a
′
d
′
<
b
′
c
′
{\displaystyle a'd'<b'c'}
יחס סדר חזק:
אנטי-רפלקסיביות : לא מתקיים
a
b
<
a
b
{\displaystyle ab<ab}
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]<[(a,b)]}
טרנזיטיביות : נניח כי
a
d
<
b
c
∧
c
f
<
d
e
{\displaystyle ad<bc\land cf<de}
[2]
a
d
c
f
<
b
c
d
e
{\displaystyle adcf<bcde}
c
d
{\displaystyle cd}
a
f
<
b
e
{\displaystyle af<be}
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle [(a,b)]<[(e,f)]}
השוואה: נשתמש בכך שהסדר על השלמים הוא משווה, ונקבל שלכל
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
a
d
=
b
c
∨
a
d
<
b
c
∨
a
d
>
b
c
{\displaystyle ad=bc\lor ad<bc\lor ad>bc}
[
(
a
,
b
)
]
=
[
(
c
,
d
)
]
∨
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
∨
[
(
c
,
d
)
]
<
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]=[(c,d)]\lor [(a,b)]<[(c,d)]\lor [(c,d)]<[(a,b)]}
נראה כי ההגדרה הופכת את השדה לשדה סדור : נניח כי
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
{\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}
f
>
0
{\displaystyle f>0}
צריך להוכיח כי
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
e
,
f
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
+
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+[(e,f)]<[(c,d)]+[(e,f)]}
a
f
d
f
+
b
e
d
f
<
c
f
b
f
+
d
e
b
f
{\displaystyle afdf+bedf<cfbf+debf}
a
d
<
b
c
{\displaystyle ad<bc}
f
2
>
0
{\displaystyle f^{2}>0}
a
f
d
f
<
c
f
b
f
{\displaystyle afdf<cfbf}
b
e
d
f
{\displaystyle bedf}
נניח בנוסף כי
[
(
e
,
f
)
]
>
0
=
[
(
0
,
1
)
]
{\displaystyle [(e,f)]>0=[(0,1)]}
e
>
0
{\displaystyle e>0}
f
>
0
{\displaystyle f>0}
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
e
,
f
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
⋅
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(e,f)]<[(c,d)]\cdot [(e,f)]}
a
e
d
f
<
b
f
c
e
{\displaystyle aedf<bfce}
a
d
<
b
c
{\displaystyle ad<bc}
e
f
>
0
{\displaystyle ef>0}
![{\displaystyle [(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4673f87e9f04b411addd9c344dceb4c2915dd1)
![{\displaystyle [(a,1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4790b90b7c765fd1c09e677a7befe8fc4d10ec7)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10be7c056a7c8afcbed39e725c6079a3834670cc)
![{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca1da8749b88cc56b2c6ad91f8f6739475dc5ab)
![{\displaystyle [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cf+de,df)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1232092eb4fbe82c0a6dec219010dcf2411afeb2)
![{\displaystyle [(a,b)]\cdot ([(c,d)]\cdot [(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(ce,df)]=[(ace,bdf)]=[(ac,bd)]\cdot [(e,f)]=([(a,b)]\cdot [(c,d)])\cdot [(e,f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3991b5ac9106b97da4cf9c59f6a7fa6e6c709b)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]=[(cb+da,db)]=[(c,d)]+[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9e47cb8489fba9baaa67bf0effc18e71cc2ffb)
![{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]=[(ca,db)]=[(c,d)]\cdot [(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31abe207e0f383d55e320e7298f271f2d2379a8b)
![{\displaystyle [(a,b)]+0=[(a,b)]+[(0,1)]=[(a\cdot 1+b\cdot 0,b\cdot 1)]=[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63bc8cd5553e69bba5da6f3e73befc21d660d3a5)
![{\displaystyle [(a,b)]\cdot 1=[(a,b)]\cdot [(1,1)[=[(a\cdot 1,b\cdot 1)]=[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b9d5293260c18712bad63f7a91e9badf6664bf)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab-ba,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21981e6be5beb2102520ec5e86e9e4d87a4fd771)
![{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(b,a)]=[(ab,ba)]=[(1,1)]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a2095e3fd69c68138c2a368f569e7e1af7a6e9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(cf+de,df)]=[(acf+ade,bdf)]=[(acbf+adbe,bdbf)]=[(ac,bd)]+[(ae,bf)]\\&=[(a,b)]\cdot [(c,d)]+[(a,b)]\cdot [(e,f)]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5445a8ad44a5851a5b7bc1d2fc0d971d42010089)
![{\displaystyle \forall b,d>0,[(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow ad<bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b828cbe8fccfe70cf9177b989031b09e9f3df068)
![{\displaystyle [(a,b)]<[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f28657477738ab3d4b3020dd02fae0fe11b1fb)
![{\displaystyle [(a,b)]<[(e,f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b69630c8b2885ec8298e526f231d91bf209da639)
![{\displaystyle [(a,b)]=[(c,d)]\lor [(a,b)]<[(c,d)]\lor [(c,d)]<[(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbc4b1ac9030c714ef31869fbf5823db2aacb52)
![{\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f5d9d3f2ef39e8cf90692589f0b97945454536)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(e,f)]<[(c,d)]+[(e,f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd726a51bd3e0db9898a87f89107c11c2f0e6c0)
![{\displaystyle [(e,f)]>0=[(0,1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663495e60f4683bde2c2339af781debdf6f375e5)
![{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(e,f)]<[(c,d)]\cdot [(e,f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8d2078ff522f6148d75a739863e06412cba74ab)
