שדה המספרים הרציונליים (או: השדה הרציונלי ) הוא האוסף של כל השברים (כגון
7
4
,
−
3
14
,
6
1
{\displaystyle \ {\frac {7}{4}},{\frac {-3}{14}},{\frac {6}{1}}}
), יחד עם פעולות החיבור והכפל הרגילות. באופן זה, אוסף השברים מהווה שדה סדור , שאבריו הם כל המספרים הרציונליים . כיוון שכל מספר רציונלי הוא מנה של שני מספרים שלמים , מסמנים את השדה ב-
Q
{\displaystyle \ \mathbb {Q} }
, האות הראשונה במלה Quotient (מנה באנגלית).
Q
{\displaystyle \ \mathbb {Q} }
הוא השדה הקטן ביותר ממאפיין אפס: כל שדה שבו המספרים הטבעיים שונים זה מזה מכיל עותק של
Q
{\displaystyle \ \mathbb {Q} }
, ולכן אפשר להתייחס לכל שדה ממאפיין אפס כאל הרחבה של השדה הרציונלי. כאשר ממד ההרחבה סופי, איבריו של השדה הם כולם אלגבריים מעל השדה הרציונלי, והוא נקרא שדה מספרים .
באופן פורמלי, בונים את
Q
{\displaystyle \ \mathbb {Q} }
כשדה שברים של חוג המספרים השלמים (ראו מערכות מספרים ).
כתת-שדה של השדה הממשי , השדה הרציונלי הוא קבוצה צפופה בת מנייה . השדה הממשי, אם כך, הוא מרחב ספרבילי .
נגדיר יחס שקילות על
Z
×
(
Z
∖
{
0
}
)
{\displaystyle \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})}
כך:
(
a
,
b
)
∼
(
c
,
d
)
{\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}
אם ורק אם
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
. נראה שזהו אכן יחס שקילות :
רפלקסיביות :
a
b
=
b
a
{\displaystyle ab=ba}
ולכן
(
a
,
b
)
∼
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\sim (a,b)}
סימטריה : נניח ש
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
. מכיוון ששוויון הוא סימטרי וכפל הוא חילופי , נקבל
c
b
=
d
a
{\displaystyle cb=da}
, כלומר
(
c
,
d
)
∼
(
a
,
b
)
{\displaystyle (c,d)\sim (a,b)}
טרנזיטיביות : נניח ש
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc}
וכן ש
c
f
=
d
e
{\displaystyle cf=de}
. נכפול את המשוואות ונקבל
a
d
c
f
=
b
c
d
e
{\displaystyle adcf=bcde}
. נצמצם ב
c
d
{\displaystyle cd}
ונקבל
a
f
=
b
e
{\displaystyle af=be}
, כלומר
(
a
,
b
)
∼
(
e
,
f
)
{\displaystyle (a,b)\sim (e,f)}
קבוצת המנה של יחס שקילות זה תסומן
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
- קבוצת המספרים הרציונליים. את מחלקת השקילות
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]}
נסמן
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
. את מחלקת השקילות
[
(
a
,
1
)
]
{\displaystyle [(a,1)]}
נזהה עם המספר השלם
a
{\displaystyle a}
. כך קיבלנו שקבוצת המספרים השלמים חלקית לרציונליים.
נגדיר פעולות חיבור וכפל:
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
c
,
d
)
]
=
[
(
a
d
+
b
c
,
b
d
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]}
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
,
d
)
]
=
[
(
a
c
,
b
d
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]}
נראה שההגדרות לא תלויות בנציגים, כלומר אם
(
a
,
b
)
∼
(
a
′
,
b
′
)
{\displaystyle (a,b)\sim (a',b')}
וכן
(
c
,
d
)
∼
(
c
′
,
d
′
)
{\displaystyle (c,d)\sim (c',d')}
, אז
(
a
d
+
b
c
,
b
d
)
∼
(
a
′
d
′
+
b
′
c
′
,
b
′
d
′
)
{\displaystyle (ad+bc,bd)\sim (a'd'+b'c',b'd')}
וכן
(
a
c
,
b
d
)
∼
(
a
′
c
′
,
b
′
d
′
)
{\displaystyle (ac,bd)\sim (a'c',b'd')}
.
חיבור: צריך להוכיח כי
(
a
d
+
b
c
)
b
′
d
′
=
(
a
′
d
′
+
b
′
c
′
)
b
d
{\displaystyle (ad+bc)b'd'=(a'd'+b'c')bd}
, כלומר כי
a
d
b
′
d
′
+
b
c
b
′
d
′
=
a
′
d
′
b
d
+
b
′
c
′
b
d
{\displaystyle adb'd'+bcb'd'=a'd'bd+b'c'bd}
. מתקיים
a
b
′
=
a
′
b
{\displaystyle ab'=a'b}
. נכפול ב
d
d
′
{\displaystyle dd'}
ונקבל
a
d
b
′
d
′
=
a
′
d
′
b
d
{\displaystyle adb'd'=a'd'bd}
. מתקיים
c
d
′
=
c
′
d
{\displaystyle cd'=c'd}
. נכפול ב
b
b
′
{\displaystyle bb'}
ונקבל
b
c
b
′
d
′
=
b
′
c
′
b
d
{\displaystyle bcb'd'=b'c'bd}
. נחבר את המשוואות ונקבל בדיוק את השוויון הדרוש
כפל: צריך להוכיח כי
a
c
b
′
d
′
=
b
d
a
′
c
′
{\displaystyle acb'd'=bda'c'}
. מתקיים
a
b
′
=
b
a
′
{\displaystyle ab'=ba'}
וכן
c
d
′
=
c
′
d
{\displaystyle cd'=c'd}
. נכפול את המשוואות ונקבל את השוויון הדרוש. נראה כי הפעולות מקיימות את אקסיומות השדה :
חיבור:
[
(
a
,
b
)
]
+
(
[
(
c
,
d
)
]
+
[
(
e
,
f
)
]
)
=
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
c
f
+
d
e
,
d
f
)
]
=
[
(
a
d
f
+
b
c
f
+
b
d
e
,
b
d
f
)
]
=
[
(
a
d
+
b
c
,
b
d
)
]
+
[
(
e
,
f
)
]
=
(
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
c
,
d
)
]
)
+
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cf+de,df)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]}
כפל:
[
(
a
,
b
)
]
⋅
(
[
(
c
,
d
)
]
⋅
[
(
e
,
f
)
]
)
=
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
e
,
d
f
)
]
=
[
(
a
c
e
,
b
d
f
)
]
=
[
(
a
c
,
b
d
)
]
⋅
[
(
e
,
f
)
]
=
(
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
,
d
)
]
)
⋅
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot ([(c,d)]\cdot [(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(ce,df)]=[(ace,bdf)]=[(ac,bd)]\cdot [(e,f)]=([(a,b)]\cdot [(c,d)])\cdot [(e,f)]}
חיבור:
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
c
,
d
)
]
=
[
(
a
d
+
b
c
,
b
d
)
]
=
[
(
c
b
+
d
a
,
d
b
)
]
=
[
(
c
,
d
)
]
+
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]=[(cb+da,db)]=[(c,d)]+[(a,b)]}
כפל:
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
,
d
)
]
=
[
(
a
c
,
b
d
)
]
=
[
(
c
a
,
d
b
)
]
=
[
(
c
,
d
)
]
⋅
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]=[(ca,db)]=[(c,d)]\cdot [(a,b)]}
איבר האפס :
[
(
a
,
b
)
]
+
0
=
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
0
,
1
)
]
=
[
(
a
⋅
1
+
b
⋅
0
,
b
⋅
1
)
]
=
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+0=[(a,b)]+[(0,1)]=[(a\cdot 1+b\cdot 0,b\cdot 1)]=[(a,b)]}
איבר היחידה :
[
(
a
,
b
)
]
⋅
1
=
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
1
,
1
)
[
=
[
(
a
⋅
1
,
b
⋅
1
)
]
=
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot 1=[(a,b)]\cdot [(1,1)[=[(a\cdot 1,b\cdot 1)]=[(a,b)]}
איבר נגדי :
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
−
a
,
b
)
]
=
[
(
a
b
−
b
a
,
b
2
)
]
=
[
(
0
,
b
2
)
]
=
[
(
0
,
1
)
]
=
0
{\displaystyle [(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab-ba,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0}
איבר הופכי :
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
b
,
a
)
]
=
[
(
a
b
,
b
a
)
]
=
[
(
1
,
1
)
]
=
1
{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(b,a)]=[(ab,ba)]=[(1,1)]=1}
דיסטריבוטיביות :
[
(
a
,
b
)
]
⋅
(
[
(
c
,
d
)
]
+
[
(
e
,
f
)
]
)
=
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
f
+
d
e
,
d
f
)
]
=
[
(
a
c
f
+
a
d
e
,
b
d
f
)
]
=
[
(
a
c
b
f
+
a
d
b
e
,
b
d
b
f
)
]
=
[
(
a
c
,
b
d
)
]
+
[
(
a
e
,
b
f
)
]
=
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
c
,
d
)
]
+
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(cf+de,df)]=[(acf+ade,bdf)]=[(acbf+adbe,bdbf)]=[(ac,bd)]+[(ae,bf)]\\&=[(a,b)]\cdot [(c,d)]+[(a,b)]\cdot [(e,f)]\end{aligned}}}
את הסדר על
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
נגדיר כך:
∀
b
,
d
>
0
,
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
⇔
a
d
<
b
c
{\displaystyle \forall b,d>0,[(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow ad<bc}
. כלומר יש להציג את המספר כבעל מכנה חיובי, ואז ניתן להשוות. נראה כי ההגדרה אינה תלויה בנציגים:
נניח כי
b
,
d
,
b
′
,
d
′
>
0
{\displaystyle b,d,b',d'>0}
, וכן כי
a
d
<
b
c
{\displaystyle ad<bc}
. נכפול בשוויון
c
d
′
=
c
′
d
{\displaystyle cd'=c'd}
[1] ונקבל
a
d
′
c
d
<
b
c
′
c
d
{\displaystyle ad'cd<bc'cd}
. נצמצם ב
c
d
{\displaystyle cd}
ונקבל
a
d
′
<
b
c
′
{\displaystyle ad'<bc'}
. נכפול בשוויון
a
′
b
=
a
b
′
{\displaystyle a'b=ab'}
ונקבל
a
′
d
′
a
b
<
b
′
c
′
a
b
{\displaystyle a'd'ab<b'c'ab}
. נצמצם ב
a
b
{\displaystyle ab}
ונקבל
a
′
d
′
<
b
′
c
′
{\displaystyle a'd'<b'c'}
.
נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק:
אנטי-רפלקסיביות : לא מתקיים
a
b
<
a
b
{\displaystyle ab<ab}
ולכן גם לא
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]<[(a,b)]}
טרנזיטיביות : נניח כי
a
d
<
b
c
∧
c
f
<
d
e
{\displaystyle ad<bc\land cf<de}
. נכפול את שני אי השוויונות[2] ונקבל
a
d
c
f
<
b
c
d
e
{\displaystyle adcf<bcde}
. נצמצם ב
c
d
{\displaystyle cd}
ונקבל
a
f
<
b
e
{\displaystyle af<be}
, כלומר
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle [(a,b)]<[(e,f)]}
השוואה: נשתמש בכך שהסדר על השלמים הוא משווה, ונקבל שלכל
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
מתקיים
a
d
=
b
c
∨
a
d
<
b
c
∨
a
d
>
b
c
{\displaystyle ad=bc\lor ad<bc\lor ad>bc}
, כלומר
[
(
a
,
b
)
]
=
[
(
c
,
d
)
]
∨
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
∨
[
(
c
,
d
)
]
<
[
(
a
,
b
)
]
{\displaystyle [(a,b)]=[(c,d)]\lor [(a,b)]<[(c,d)]\lor [(c,d)]<[(a,b)]}
נראה כי ההגדרה הופכת את השדה לשדה סדור : נניח כי
[
(
a
,
b
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
{\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}
, וכן
f
>
0
{\displaystyle f>0}
:
צריך להוכיח כי
[
(
a
,
b
)
]
+
[
(
e
,
f
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
+
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle [(a,b)]+[(e,f)]<[(c,d)]+[(e,f)]}
, כלומר
a
f
d
f
+
b
e
d
f
<
c
f
b
f
+
d
e
b
f
{\displaystyle afdf+bedf<cfbf+debf}
. מתקיים
a
d
<
b
c
{\displaystyle ad<bc}
. נכפול ב
f
2
>
0
{\displaystyle f^{2}>0}
ונקבל
a
f
d
f
<
c
f
b
f
{\displaystyle afdf<cfbf}
. נוסיף לשני האגפים
b
e
d
f
{\displaystyle bedf}
ונקבל את אי השוויון הרצוי.
נניח בנוסף כי
[
(
e
,
f
)
]
>
0
=
[
(
0
,
1
)
]
{\displaystyle [(e,f)]>0=[(0,1)]}
(כלומר
e
>
0
{\displaystyle e>0}
לאחר שהנחנו
f
>
0
{\displaystyle f>0}
). צריך להוכיח
[
(
a
,
b
)
]
⋅
[
(
e
,
f
)
]
<
[
(
c
,
d
)
]
⋅
[
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(e,f)]<[(c,d)]\cdot [(e,f)]}
, כלומר כי
a
e
d
f
<
b
f
c
e
{\displaystyle aedf<bfce}
. מתקיים
a
d
<
b
c
{\displaystyle ad<bc}
. נכפול ב
e
f
>
0
{\displaystyle ef>0}
ונקבל את אי השוויון הרצוי.