קונגרואנציה

במתמטיקה, ובפרט באלגברה מופשטת, קונגרואנציה היא יחס שקילות על מבנה אלגברי (כגון חבורה, חוג או מרחב וקטורי) התואם לפעולות האלגבריות שבו. החשיבות הגדולה של קונגרואנציות באלגברה נובעת מכך שהן מאפשרות להגדיר מבני מנה, שאבריהם הם מחלקות השקילות של המבנה האלגברי ביחס לקונגרואנציה. הדוגמה הקנונית לקונגרואנציה היא יחס השקילות מודולו n על חוג המספרים השלמים (לפיה 2 מספרים הם שקולים אם הם משאירים אותה שארית בחלוקה ב-n), וממנה הגיע השם קונגרואנציה.

הגדרה כללית

ההגדרה הכללית של מושג הקונגרואנציה שייכת לתחום האלגברה האוניברסלית, תחום החוקר מבנים אלגבריים בהקשר כללי. ההגדרה מכלילה את מושג הקונגרואנציה מתחומים כמו תורת החוגים ותורת החבורות. באלגברה אוניברסלית, מבנה אלגברי $A$ הוא קבוצה יחד עם אוסף של פעולות מעליה. במובנה הכללי, קונגרואנציה היא יחס שקילות $\equiv$ בין איברי $A$, המתואם בנוסף עם הפעולות האלגבריות על $A$ באופן כזה שלכל פעולה $f_{i}(x_{1},..x_{\alpha })\equiv f_{i}(y_{1},..y_{\alpha })$ באם $x_{m}\equiv y_{m}$.

אפשר לנסח מצב זה גם בכך שאם מחלקת השקילות של כל איבר $x$ ביחס ל-$\equiv$ היא $[x]$, התוצאה של הפעלת $f_{i}$ על $y_{1},..y_{\alpha }$, כאשר $y_{m}\in [x_{m}]$, תמיד תשתייך ל $[f(x_{1},..x_{\alpha })]$.

המשמעות של כך היא שקיימת פעולה $F_{i}$, בין מחלקות השקילות $[x]$ של איברי $A$ היורשת את תכונותיה באופן טבעי מהפעולה $f_{i}$. פעולה זו מכונה פעולת המנה של $f_{i}$, ומוגדרת על ידי $F_{i}([x_{1}],..[x_{\alpha }])=[f(x_{1},..x_{\alpha })]$.

המבנה האלגברי שאיבריו הם מחלקות השקילות של איברי $A$ ביחס לקונגרואנציה, והפעולות בו הן פעולות המנה של כל פעולה $f_{i}$ הקיימת ב$A$, מכונה מבנה המנה או אלגבראת המנה של $A$ ביחס ל-$\equiv$ ומסומן $A/\equiv$.

קונגרואנציה של חוגים

קונגרואנציה של חוג היא יחס שקילות על החוג השומר על החיבור והכפל. כלומר, אם $\ a\equiv b$ ו- $\ a'\equiv b'$, אז גם $\ a+a'\equiv b+b'$ ו- $\ aa'\equiv bb'$. אם a,b שקולים תחת יחס כזה, אומרים שהם קונגרואנטיים זה לזה.

אוסף האיברים השקולים לאפס תחת יחס כזה הוא אידיאל, ואוסף מחלקות השקילות הוא חוג המנה של החוג ביחס לאידיאל. שני איברים הם קונגרואנטיים בדיוק כאשר ההפרש ביניהם שייך לאידיאל.

הדוגמה הראשונה לקונגרואנציה היא השקילות מודולו n (שני מספרים הם שקולים אם ההפרש ביניהם מתחלק ב-n) - ראו חשבון מודולרי.

ראו גם

• חפיפת מטריצות

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.