משוואת זכאי

בתורת הסינון, משוואת זכאי (באנגלית: Zakai equation) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית סטוכסטית (אנ') ליניארית עבור המסנן האופטימלי למערכות לא־ליניאריות.

המשוואה נקראת על שם המפתח שלה, פרופ' משה זכאי מהפקולטה להנדסת חשמל בטכניון, שהגה אותה בסביבות שנת 1967.^[1]

סקירה כללית עריכה

בתאוריית הסינון משוואת זכאי היא משוואה ליניארית דיפרנציאלית חלקית לצפיפות בלתי מנוצלת של המצב הסמוי. לעומתה, משוואת קושנר (אנ') נותנת משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא ליניאריות לצפיפות המנורמלת של המצב.

באופן עקרוני, גישה זו מאפשרת לאמוד פונקציית כמות (מצב של מערכת דינמית) ממדידות רועשות, גם כאשר המערכת אינה ליניארית, ובכך להכליל את התוצאות הקודמות של וינר וקלמן עבור מערכות ליניאריות ופתרון בעיה מרכזית בתורת האמידה.

רקע עריכה

בעיית סינון (הפרדת האות מהרעש) של משפחה רחבה של מערכות דינמיות ליניאריות ידועה כמסנן קלמן.^[2]

בהמשך לזה עלתה בעיה דומה של מציאת המסנן האופטימלי עבור מערכות לא־ליניאריות. התוצאות שהיו ידועות עבור מקרה זה היו מסובכות ביותר.

בסביבות שנת 1967 פיתח הפרופ' משה זכאי משוואה הרבה יותר פשוטה עבור המסנן האופטימלי הידועה כ"משוואת זכאי".^[3]^[4]

תוצאה זו מהווה נקודת מפנה למספר רב של מחקרים בשטח זה.^[5]^[6]

משוואת זכאי עריכה

נניח שמצב המערכת מתפתח בהתאם לפי המשוואה:

\mathrm {d} x=f(x,t)\mathrm {d} t+\mathrm {d} w

מדידת הרעש הנובעת ממצב המערכת זמינה לפי המשוואה:

\mathrm {d} z=h(x,t)\mathrm {d} t+\mathrm {d} v

כאשר dw, dv הם שני מקדמים של Weiner, ולכן עוצמת המצב הלא מנורמל בזמן T הוא

\mathrm {d} p=L(p)\mathrm {d} t+ph^{T}\mathrm {d} z

(התוצאה באמצעות "משוואת זכאי")

ראו גם עריכה

קישורים חיצוניים עריכה

סימולציה של משוואת זכאי (Discretization and Simulation of the Zakai Equation, ינואר 2006)
"משוואת דאנקן-מורטנסן-זכאי" (האנציקלופדיה למתמטיקה)

הערות שוליים עריכה

^ "משוואת זכאי" perso-math.univ-mlv.fr/users/printems.jacques/Zakairevjuin06
^ פתרון משוואת זכאי על ידי הפרדת משתנים מחבר: Frederick E. Daum
^ 2. .M. Zakai, “On the Optimal Filtering of Diffusion Processes”, Zeitschr. f. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 11, pp. 230–243, 1969.
^ "משוואת זכאי" The Zakai equation of nonlinear filtering for jump-diffusion observation: existence and uniqueness arxiv.org מחברים: Claudia Ceci, Katia Colaneri, תאריך: 16 באוקטובר 2012
^ Sritharan, S. S. (1994). "Nonlinear filtering of stochastic Navier–Stokes equations". In Funaki, T.; Woyczynski, W. A. (eds.). Nonlinear Stochastic PDEs: Burgers Turbulence and Hydrodynamic Limit (PDF). Springer-Verlag. pp. 247–260. ISBN 0-387-94624-1.
^ נושא: הכללות חלקיות של משוואת זכאי וכמה שיטות פתרון "Fractional generalizations of Zakai equation and some solution methods" פורסם: 9 ביוני 2018, מחברים: Sabir Umarov, Fred Daum, Kenric Nelson

[1] "משוואת זכאי" perso-math.univ-mlv.fr/users/printems.jacques/Zakairevjuin06

[2] פתרון משוואת זכאי על ידי הפרדת משתנים מחבר: Frederick E. Daum

[3] 2. .M. Zakai, “On the Optimal Filtering of Diffusion Processes”, Zeitschr. f. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 11, pp. 230–243, 1969.

[4] "משוואת זכאי" The Zakai equation of nonlinear filtering for jump-diffusion observation: existence and uniqueness arxiv.org מחברים: Claudia Ceci, Katia Colaneri, תאריך: 16 באוקטובר 2012

[5] Sritharan, S. S. (1994). "Nonlinear filtering of stochastic Navier–Stokes equations". In Funaki, T.; Woyczynski, W. A. (eds.). Nonlinear Stochastic PDEs: Burgers Turbulence and Hydrodynamic Limit (PDF). Springer-Verlag. pp. 247–260. ISBN 0-387-94624-1.

[6] נושא: הכללות חלקיות של משוואת זכאי וכמה שיטות פתרון "Fractional generalizations of Zakai equation and some solution methods" פורסם: 9 ביוני 2018, מחברים: Sabir Umarov, Fred Daum, Kenric Nelson

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]