משטח פריס
בגאומטריה דיפרנציאלית, משטח פריס (באנגלית: Developable surface), או משטח בר-פיתוח, הוא משטח חלק עם עקמומיות גאוס אפס. זהו משטח שניתן לפרוס למישור ללא עיוותים (כלומר ללא מתיחה או כיווץ של מרחקים על המשטח). באופן הפוך, זהו משטח שניתן ליצור באמצעות הפעלת טרנספורמציה איזומטרית מתאימה (על ידי "עיקום"/"גלילה"/"קיפול"/"חיתוך" ו/או "הדבקה") על מישור. בשלושה ממדים כל המשטחים הפריסים הם משטחי ישרים (הטענה ההפוכה אינה נכונה). בארבעה ממדים, ישנם משטחים פריסים שאינם משטחי ישרים.
המעטפת הגאומטרית של משפחה בת-פרמטר אחד של חלקים ממישור היא משטח פריס.
דוגמאות למשטחים ברי-פיתוח עריכה
משטחים פריסים שניתנים למימוש במרחב תלת-ממדי כוללים:
- גלילים, ובאופן כללי יותר "גלילים מוכללים"; חתך הרוחב של גליל מוכלל עשוי להיות כל עקומה חלקה.
- מישורים (באופן טריוויאלי); ניתן לראות בהם גלילים שחתך הרוחב שלהם הוא ישר אינסופי.
- חרוטים, ובאופן כללי יותר, משטחים חרוטיים, כאשר לא כוללים את קודקוד החרוט (זאת משום שניתן לחשוב על העקמומיות הכוללת של החרוט כאילו היא מרוכזת בקודקודו ומתאפסת בכל נקודה אחרת). מתמטית, הסרה של נקודה יחידה אינה יוצרת כל מגבלה על פריסה מדויקת של החרוט למישור, אולם פיזיקלית, מימוש של חרוט מושלם אינו אפשרי, כך שבפועל מתקבלת סביבה קטנה של הקודקוד בה עקמומיות גאוס שונה מאפס, ולכן סביבת הקודקוד אינה איזומטרית למישור ויהיה קושי פיזי בפריסת מעטפת חרוטית (הכרחי למתוח במקצת את היריעה ממנה עשויה המעטפת החרוטית באזור הקודקוד). לחלופין, במידה ומתחילים ממישור ומכינים ממנו חרוט, מן ההכרח שייווצרו קמטים או קרעים זעירים באזור הקודקודי שמנסים ליצור.
- פאונים הם משטחים פריסים שכן ניתן להציג פריסה מדויקת שלהם על מישור על ידי סדרה של פעולות חיתוך וקיפול (מתמטית, העקמומיות הכוללת שלהם מתרכזת בקודקודיהם בלבד). פיזית, אם מתחילים משרטוט של פריסה של פאון על מישור ומנסים ליצור ממנו את הפאון על ידי סדרת קיפולים והדבקות, לא ניתן יהיה להדביק באופן מושלם את הפאון באזור הקודקודים (במידה והכנו את הפאון מאותה חתיכה מישורית של נייר, ולא באמצעות הדבקה של כמה חתיכות נייר מישוריות), ומן ההכרח שייווצרו קמטים וקרעים זעירים באזורי הקודקודים; הקושי הפיזי ביצירת הפאון יורגש רק כאשר היריעה המישורית עשויה מחומר בעל מודול אלסטיות גבוה.
- האולואיד והספריקון הם פרטים במשפחה מיוחדת של גופים הנדסיים שפורשים את מלוא המעטפת שלהם כאשר הם מתגלגלים על מישור שטוח (הווה, אומר כל נקודה עליהם נוגעת במישור בשלב כלשהו של תנועתו).
פורמלית, במתמטיקה, משטח פריס הוא משטח עם עקמומיות גאוס אפס. תוצאה אחת מכך היא שכל המשטחים הפריסים שניתנים למימוש במרחב תלת-ממדי הם משטחי ישרים (למרות שהיפרבולואידים הם דוגמאות למשטחי ישרים שאינם פריסים). מסיבה זו, משטחים פריסים רבים ניתנים לוויזואליזציה כמשטח הנוצר על ידי הזזת קו ישר במרחב (המכונה היוצר של המשטח). למשל, חרוט נוצר על ידי החזקת קצה אחד של קו ישר בנקודה קבועה תוך כדי הזזה של קצהו השני במעגל.
יישומים עריכה
- כחלק מן המגמה הטכנולוגית העולמית של מזעור רכיבים מכניים ואלקטרוניים, ישנה העדפה הולכת וגוברת לשילוב מנגנונים פריסים (Developable Mechanisms), כלומר מנגנונים הניתנים לשיכון בתוך מבנים בעלי גאומטריה של משטח פריס - וזאת משום שהם תופסים נפח מזערי.
- הטלות קרטוגרפיות רבות כרוכות בהטלת כדור הארץ למשטח פריס (לפי התיאורמה אגרגיום, פעולה זאת לא ניתנת לביצוע באופן מדויק) ולאחר מכן גלילת המשטח לכדי אזור במישור.
