משלוש יוצא אחד

משלוש יוצא אחד (נקרא גם משלוש יוצא אני; מה מה מה) היא הגרלה הנהוגה בין ילדים לצורך קביעת תור במשחק ולצרכים אחרים.

שלושה משחקים "משלוש יוצא אחד". השחקן בחולצה השחורה שבחר "לבן" הוא המנצח.

בשם ההגרלה קיימת שגיאה דקדוקית מאחר שהוא מתאר בחירה של אחד מתוך שלושה או אחת מתוך שלוש, אולם שגיאה זו השתרשה כשם השגור בפי הילדים.

מהלך ההגרלה

ההגרלה "משלוש יוצא אחד" מתבצעת בין שלושה ילדים המסתדרים במעגל. שלושת הילדים מנפנפים ביד אחת אל פנים המעגל וקוראים בקול "משלוש יוצא אחד", "משלוש יוצא אני", ״משלוש יוצאת ידי״ או מצרפתית - "אן-דה-טרואה". כאשר נאמרת ההברה האחרונה של המשפט ("חד" או לחליפין "ני") מושיט כל ילד את כף ידו באחת משתי החלופות הבאות: גב היד מופנה כלפי מעלה (מכונה "שחור") או פנים כף היד מופנה כלפי מעלה (מכונה "לבן"). הילד הנבחר הוא זה שכף ידו מצויה בפוזיציה ייחודית (למשל "לבן" כאשר שני חבריו "שחורים" או "שחור" כאשר שני חבריו "לבנים"). אם כל הילדים מושיטים את ידם באותה הפוזיציה (כולם "שחור" או כולם "לבן") אזי אין מנצח ומתבצעת הגרלה חוזרת. אצל ילדים גדולים ומנוסים יותר הסיבוב החוזר נעשה במהירות מבלי לומר את המילים "משלוש יוצא אחד" אלא רק את המילה "אחד" שנאמרת תוך הדגשת ההברות כאשר בהברה "אֶ" מושטות הידיים בהנפה קצרה ובהברה "חד" נקבעת פוזיציית היד - "שחור" או "לבן".

ניתוח מתמטי

הסתברויות להצלחה בהגרלה

בהנחה שכל ילד מושיט את ידו באופן אקראי בין שתי החלופות, "שחור" ו"לבן", מספר ההופעות של כל צבע מתפלג בינומית $B(3,{\frac {1}{2}})$. לכן ההסתברות ששחקן מסוים יזכה או שייערך משחק חוזר שווה ל-$(1/2)^{3}+(1/2)^{3}=1/4$.

תוחלת מספר הסיבובים של המשחק

כאשר משחקים n שחקנים, ההסתברות לקונפיגורציה ספציפית של הידיים היא $2^{-n}$, כאשר קונפיגורציה מכילה את המידע עבור כל שחקן אם הוא "שחור" או "לבן". לכל שחקן יש שתי קונפיגורציות בהן הוא יוצא מהמשחק: הקונפיגורציה בה הוא "לבן" והשאר "שחורים", והקונפיגורציה בה הוא "שחור" והשאר "לבנים". סה"כ יש $2n$ קונפיגורציות כאלו, ולכן, ההסתברות שאחד השחקנים ייצא היא: ${\frac {2n}{2^{n}}}={\frac {n}{2^{n-1}}}$. כתוחלת של משתנה מקרי גאומטרי, תוחלת מספר הסיבובים עד ששחקן כלשהו ייצא היא ${\frac {2^{n-1}}{n}}$.

כאשר משחקים שני שחקנים, המשחק מוכרע באמצעות אבן נייר ומספריים, שם הסתברות ההכרעה שווה ${\frac {2}{3}}$, וכתוחלת משתנה מקרי גאומטרי, תוחלת מספר הסיבובים היא ${\frac {3}{2}}$. ולכן, תוחלת מספר הסיבובים הכולל, כשמתחילים עם m שחקנים שווה: ${\frac {3}{2}}+\sum _{n=3}^{m}{\frac {2^{n-1}}{n}}$.

שיתוף פעולה של חלק מן השחקנים

משחק זה אינו עמיד בפני שיתוף פעולה של שני שחקנים. לפיכך נחשב שיתוף פעולה כזה, הכולל תיאום בסתר בין חלק מן השחקנים, כבלתי לגיטימי בעיני הילדים:

• אם "היוצא" במשחק "משלוש יוצא אחד" נחשב זוכה (למשל אם ההגרלה משמשת לבחירת סדר העומדים במשחק חמור חדש) יכולים שני שחקנים לתאם מראש כך שאחד מהם יבחר "שחור" והשני "לבן", ללא ידיעת השחקן השלישי. כך מגדילים משתפי הפעולה את סיכוייהם לזכות למחצית, בעוד שהשחקן השלישי אינו מנצח לעולם.
• אם "היוצא" מפסיד (למשל אם היוצא הוא זה ש"יעמוד" במשחק מחבואים), הם יכולים לתאם ביניהם מראש לבחור תמיד שניהם "שחור" או תמיד שניהם "לבן". כך בחצי מן המקרים יהיה משחק חוזר, ובחצי השני של המקרים יפסיד השלישי.

גרסאות שונות

מ-X יוצא אחד

משחקי מ-X יוצא אחד (מארבעה יוצא אחד, מחמישה יוצא אחד וכו') נפוצים פחות, מאחר שמבחינה הסתברותית, במרבית המקרים לא תהיה הכרעה. כדי לעקוף את הבעיה, משתמשים השחקנים לעיתים בסדרת משחקי "משלוש יוצא אחד", אך כדי ששיטה זו תהיה הוגנת, יש לקבוע באופן הוגן את שלושת המגרילים הראשונים, וכן את סדר המשך ההגרלות.

מֶה מֶה מֶה

גרסה נוספת של המשחק היא "מֶה מֶה מֶה", שאולי נוצרה מקיצור של "משלוש יוצא אני", או מהמילה "מתוך". בגרסה זו, כדי להכריע במצבים של בחירת k ילדים מתוך n, הילדים אומרים "בואו מֶה מֶה מֶה", מושיטים את הידיים למרכז ואומרים "מֶה מֶה מֶה מֶה מֶה מֶהההה מֶה", כשב-"מֶה" האחרון כולם מושיטים את הידיים בצד לבן או שחור (כמו במשחק המקורי). אם לא יוצא אף אחד, ממשיכים להגיד פעמיים "מֶה מֶה", כשב-"מֶה" השני מושיטים את הידיים, וכך הלאה עד שיוצא מישהו. בגרסה זו משתמשים גם כדי לבחור ילד אחד מתוך חבורה של שלושה ומעלה, וגם כדי להוציא k ילדים מתוך n. כל פעם שילד יוצא הוא עומד בצד, ושאר הילדים ממשיכים את המשחק עד שיוצאים k ילדים.

באתי לעזרת חבר

כאשר יש צורך להכריע בין שני שחקנים, בדרך כלל האחרונים שנותרו בסדרת משחקי "משלוש יוצא אחד", יש המשתמשים גם אז במשחק "משלוש יוצא אחד", כאשר שחקן עזר מצטרף למשחק. שחקן זה לא יכול לזכות, כלומר אם הוא זוכה, משחקים שוב, עד שאחד השחקנים ה"אמיתיים" זוכה. במקרה כזה מתנהל המשחק לצלילי הקריאה "לעֶזְרָיָה" (מלשון "לעזרה") או "באתי להושיט עזרה" או "באתי לעזרת חבר". לחליפין, פונים השחקנים למשחק הגרלה לזוג כדי להכריע את הגורלות, כגון אבן נייר ומספריים או זוג או פרט.

זוגיות הכל כוחות

משחקי מ-X יוצא אחד מהווים בדרך כלל שלב מקדים לתחילת משחק ילדים אחר, ונדיר כי הם מהווים משחק בפני עצמם. למשל: במשחק המיועד לזוג, אילו שניים מתוך שלושה שחקנים אפשריים ישחקו ראשונים. שימוש נוסף: במשחק שצריך להתחלק לזוגות משחקים כמו במשחק מארבעה יוצא אחד, לצלילי הקריאה "זוגיות - הכול כוחות" (הביטוי "הכל כוחות" אומר שכל תוצאה תתקבל, גם אם היא לא הוגנת) וכל משתתף פורש את כף ידו עם הפנים כלפי מעלה או מטה. חוזרים על הפעולה עד שנוצר מצב בו אין יחיד בעל צבע שונה, כלומר שניים הציגו גב יד ושניים הציגו כף יד. כל שניים שהציגו אותו מצב יד מתאגדים כזוג.

אנציקלופדיה

הגרסה "אנ-צי-קלו-פ-די-יה" של משחק מ-X יוצא אחד אינה משחק עזר אלא משחק העומד בפני עצמו, בו עושים שימוש בכך שההסתברות לבחירת אחד מן הקבוצה נמוכה. הקבוצה משחקת סיבובים של מ-X יוצא אחד שוב ושוב, עד שיוצא אחד מן הקבוצה. יחיד זה נפסל, והמשחק ממשיך עם X-1 משתתפים, עד להגעה לזוג, שאז מוכרע המשחק באמצעות אבן נייר ומספריים. ההנאה הנשאבת ממשחק זה היא גרסה של רולטה רוסית.

שמו מרובה ההברות של המשחק נובע מן הקריאה שקוראים הילדים כאשר הם מטלטלים את ידיהם לפני קבלת ההחלטה. ייתכן שלריבוי ההברות במילה יש תפקיד, השואב מתפקידו של ריבוי ההברות בשיר אן דן דינו.