התפלגות בינומית

התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויי ברנולי בלתי תלויים ושווי הסתברות. את הטענה שמשתנה מקרי X הוא בעל התפלגות בינומית מסמנים ב-, כאשר p היא ההסתברות להצלחה בניסוי בודד.

התפלגות בינומית
פונקציית צפיפות ההסתברות
Binomial distribution.svg
פונקציית ההסתברות המצטברת
Binomial distribution cdf.png
מאפיינים
פרמטרים p – ההסתברות ל"הצלחה",
n – מספר ההטלות
תומך
פונקציית הסתברות
(pmf)
פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf)
תוחלת
סטיית תקן
חציון
ערך שכיח
שונות
אנטרופיה
פונקציה יוצרת מומנטים
(mgf)
צידוד
גבנוניות

ההתפלגות הבינומיתעריכה

ההתפלגות של משתנה בינומי   היא   עבור  . הסימון   מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.

אכן, ההסתברות להצליח בדיוק k פעמים בסדרה של n ניסויים שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שבהן יש k הצלחות ו-(n-k) כישלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה  . לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את k הניסויים המוצלחים מתוך n, שהוא המקדם הבינומי  , כפול  .

סכום ההסתברויותעריכה

כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום:  .

תוחלת ושונותעריכה

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא  , והשונות שלו היא  .

התפלגות בינומית שליליתעריכה

  ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית

נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים (r,P) אם:  

כאשר   היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.

קשרים להתפלגויות אחרותעריכה

סכום של משתנים מקריים בינומייםעריכה

אם   וכן   הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי הסתברות זהה p אז  , ז.א סכומם של המ"מ הנ"ל גם כן מתפלג בינומי.

התפלגות ברנוליעריכה

התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר   ונהוג לסמן  . למעשה ניתן לראות בכל התפלגות בינומית כסכום של   התפלגויות ברנולי שלכולן אותה הסתברות  .

קירוב על ידי התפלגות פואסוןעריכה

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר  .

קירוב על ידי התפלגות נורמליתעריכה

אם   גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית  . כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה