קדם-מידה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת המידה, קדם-מידה (באנגלית: Pre-measure) היא פונקציה שהיא "כמעט" פונקציית מידה, במובן זה שמשפחת הקבוצות שהיא מודדת אינה מהווה סיגמא-אלגברה.

חשיבותה של קדם-מידה היא שכאשר היא מוגדרת על משפחת קבוצות המקיימת תכונות מסוימות, אז היא יכולה להתרחב לכדי פונקציית מידה על סיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי משפחת הקבוצות הזו, לעיתים אף באופן יחיד. תכונה חשובה זו מכונה משפט ההרחבה, שלו שתי גרסאות: גרסת קרתאודורי עבור קדם-מידה המוגדרת על חוג למחצה של קבוצות, וגרסת האן-קולמוגורוב עבור קדם-מידה המוגדרת על אלגברה של קבוצות.

שיטה זו של בניית מידה על ידי בניית קדם-מידה היא חשובה ויסודית בתורת המידה, וכך למשל יש לה תפקיד מרכזי בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים.

הגדרה

תהי $X$ קבוצה, ותהי ${\mathcal {S}}$ אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות מעל $X$.

פונקציה $\mu _{0}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} _{+}$ נקראת קדם מידה, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:

1. $\mu _{0}\left(\emptyset \right)=0$
2. אם $A=A_{1}\cup A_{2}\cup \dots$ איחוד סופי או בן-מניה של קבוצות זרות בזוגות מתוך ${\mathcal {S}}$, המקיים גם כי $A\in {\mathcal {S}}$, אז
   $$\mu _{0}\left(A\right)=\mu _{0}\left(A_{1}\right)+\mu _{0}\left(A_{2}\right)+\dots$$

הסיבה לסימון $\mu _{0}$ היא כי קדם-מידה מיועדת להפוך למידה, כפי שמראה משפט ההרחבה, אותה מסמנים בדרך כלל $\mu$.

משפט ההרחבה

נסמן ב-$\sigma \left({\mathcal {S}}\right)$ את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות ${\mathcal {S}}$. לכל קדם-מידה $\mu _{0}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} _{+}$, קיימת מידה $\mu :\sigma \left({\mathcal {S}}\right)\to \mathbb {R} _{+}$ המרחיבה את $\mu _{0}$. כלומר, לכל $A\in {\mathcal {S}}$ מתקיים $\mu \left(A\right)=\mu _{0}\left(A\right)$.

כמו כן, במצב בו $\mu _{0}$ היא סיגמא-סופית, אז $\mu$ יחידה. במצב זה, כמובן גם $\mu$ היא סיגמא-סופית.

ניתן להבחין כי אין כל הבדל בין אם קדם המידה מוגדרת על חוג למחצה של קבוצות או על חוג של קבוצות הנוצר על-ידה, שכן חוג של קבוצות הנוצר על ידי חוג למחצה של קבוצות הוא בדיוק אוסף כל האיחודים הסופיים של קבוצות זרות בזוגות מהחוג למחצה. לכן מאדיטיביות של קדם-מידה, היא מתרחבת באופן יחיד לכדי קדם-מידה על החוג הנוצר.

הגרסה של משפט ההרחבה עבור חוג למחצה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של קרתאודורי על-שם המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתיאודורי. הגרסה של משפט ההרחבה עבור אלגברה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, על-שמם של המתמטיקאי האוסטרי האנס האן והמתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

אי היחידות של ההרחבה

כאמור במשפט, היחידות מובטחת רק כאשר המרחב הוא סיגמא-סופי ביחס לקדם המידה הנתונה. כאשר דרישה זו לא מתקיימת, אפילו אם המרחב כן סיגמא-סופי ביחס למידה המרחיבה, היחידות אינה מובטחת. להלן דוגמה לכך.

נתבונן במרחב $X=\mathbb {Q} \cap \left[0,1\right]$, ותהי ${\mathcal {S}}$ האלגברה של קבוצות הנוצרת על ידי הקטעים החצי-פתוחים במרחב, מהצורה $\left[a,b\right)$.

נתבונן בקדם-מידה טריוויאלית על ${\mathcal {S}}$ המקיימת $\mu _{0}\left(\left[a,b\right)\right)=\infty$ לכל קטע. כמו כן נגדיר על הסיגמא-אלגברה $\sigma \left({\mathcal {S}}\right)$ מידה $\mu \left(A\right)=\left|A\right|$ ועוד מידה $\nu \left(A\right)=2\cdot \left|A\right|$, כאשר $\left|A\right|$ הוא הגודל של הקבוצה $A$, והוא $\infty$ בכל מצב בו הקבוצה אינה סופית.

אלו שתי מידות שמקבלות ערכים שונים על כל קבוצה סופית של $\sigma \left({\mathcal {S}}\right)$ (יש קבוצות סופיות בסיגמא-אלגברה זו), וכמו כן ברור ששתיהן מרחיבות את הקדם-מידה $\mu _{0}$, שכן כל קטע $\left[a,b\right)$ במרחב מכיל אינסוף איברים, ולכן $\mu \left(\left[a,b\right)\right)=\nu \left(\left[a,b\right)\right)=\infty$.

בניית מידת לבג

ערך מורחב – מידת לבג

היישום החשוב ביותר של משפט ההרחבה הוא בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים. בבנייה זו מתחילים מהחוג למחצה או האלגברה הנוצרים על ידי ${\mathcal {S}}=\left\{\left(a,b\right]:a<b\right\}$, כאשר $b$ יכול להיות גם אינסופי, ומגדירים עליו קדם-מידה להיות הנפח, כלומר $\mu _{0}\left(\left(a,b\right]\right)=b-a$. כאשר מדובר בקטע אינסופי, ערכה של הקדם-מידה יהיה $\infty$. ממשפט ההרחבה נובע שקיימת מידה על $\sigma \left({\mathcal {S}}\right)$ המרחיבה את $\mu _{0}$. מידה זו מכונה "מידת בורל".

מידת לבג עצמה מתקבלת על ידי עוד הרחבה של מידת בורל, המוגדרת על סיגמא-אלגברה גדולה יותר המכילה את $\sigma \left({\mathcal {S}}\right)$.

כפי שנובע מהחלק הנוסף של משפט ההרחבה, היות שהמספרים הממשיים מהווים מרחב מדיד סיגמא-סופי ביחס לקדם-מידת הנפח, הרי שמידת לבג היא המידה היחידה על סיגמא-אלגברת בורל, שמקיימת את התכונה האינטואיטיבית שמידתו של כל קטע $\left(a,b\right]$ היא האורך שלו, $b-a$.

לקריאה נוספת

• Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 219-224

קישורים חיצוניים

• קדם-מידה, באתר MathWorld (באנגלית)

• משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, באתר PlanetMath
• משפט ההרחבה של קרתאודורי באתר PlanetMath
• Outer measures, pre-measures, and product measures בבלוג "What's new"
• An alternate approach to the Carathéodory extension theorem בבלוג "What's new"