משפט הפונקציה ההפוכה

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה רציפה היא הפיכה.

ניסוחעריכה

תהי   קבוצה פתוחה ותהי   גזירה ברציפות. תהי   עבורה היעקוביאן בנקודה  . קיימת קבוצה פתוחה   המקיימת  , וקיימת קבוצה   כך ש  חד-חד-ערכית ב   .

כמו כן,   היא גם כן פתוחה והפונקציה ההפוכה   גם כן גזירה ברציפות ומטריצת יעקובי של   מקיימת:   לכל  

מקרה פרטיעריכה

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו  : תהי   גזירה ברציפות. תהי   נקודה המקיימת  

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת   שלכל   , .

נניח כי   אז מהיות   רציפה, לכל  ,   שהרי אחרת היה קיים  ,   ממשפט ערך הביניים.

לכן   מונוטונית עולה ממש בכל   גורר ש   חד-חד-ערכית בכל  . מכאן ניתן להגדיר   הגזירה בכל נקודה פנימית ב   על פי הגדרת הנגזרת של פונקציה הפיכה:   כי   ובקטע זה הנגזרת של   שונה מ-0.