תהי הפונקציה
f
:
R
2
→
R
2
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
f
(
x
,
y
)
=
(
e
x
cos
y
,
e
x
sin
y
)
{\displaystyle f(x,y)=(e^{x}\cos y,e^{x}\sin y)}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
y
{\displaystyle y}
J
f
(
x
,
y
)
=
(
e
x
cos
y
−
e
x
sin
y
e
x
sin
y
e
x
cos
y
)
{\displaystyle \mathrm {J} _{f}(x,y)={\begin{pmatrix}e^{x}\cos y&-e^{x}\sin y\\e^{x}\sin y&e^{x}\cos y\end{pmatrix}}}
ואזי היעקוביאן הוא
det
J
f
(
x
,
y
)
=
e
2
x
≠
0
{\displaystyle \det \mathrm {J} _{f}(x,y)=e^{2x}\neq 0}
ניתן להבין את הדוגמה גם בכלים של פונקציות מרוכבות ; הרי פונקציה זו מתאימה לפונקציה המרוכבת
f
(
z
)
=
e
z
{\displaystyle f(z)=e^{z}}
(אנ' ) של פונקציית הלוגריתם המרוכבת
g
(
w
)
=
log
w
{\displaystyle g(w)=\log w}
e
z
+
i
2
π
k
=
e
z
{\displaystyle e^{z+i2\pi k}=e^{z}}
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
זהי הכללה של המקרה הפרטי בו
n
=
1
{\displaystyle n=1}
f
:
U
→
R
{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }
a
∈
U
{\displaystyle a\in U}
f
′
(
a
)
≠
0
{\displaystyle f'(a)\neq 0}
מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
x
∈
(
a
−
δ
,
a
+
δ
)
{\displaystyle x\in (a-\delta ,a+\delta )}
f
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f'(x)\neq 0}
נניח כי
f
′
(
a
)
>
0
{\displaystyle f'(a)>0}
f
′
{\displaystyle \ f'}
x
∈
(
a
−
δ
,
a
+
δ
)
{\displaystyle x\in (a-\delta ,a+\delta )}
f
′
(
x
)
>
0
{\displaystyle \ f'(x)>0}
x
0
∈
(
a
−
δ
,
a
+
δ
)
{\displaystyle x_{0}\in (a-\delta ,a+\delta )}
f
′
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle f'(x_{0})=0}
משפט ערך הביניים .
לכן
f
{\displaystyle f}
מונוטונית עולה ממש בכל
(
a
−
δ
,
a
+
δ
)
{\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}
f
{\displaystyle f}
(
a
−
δ
,
a
+
δ
)
{\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}
f
−
1
:
f
(
(
a
−
δ
,
a
+
δ
)
)
→
(
a
−
δ
,
a
+
δ
)
{\displaystyle f^{-1}\colon f((a-\delta ,a+\delta ))\to (a-\delta ,a+\delta )}
y
0
∈
f
(
a
−
δ
,
a
+
δ
)
{\displaystyle y_{0}\in f(a-\delta ,a+\delta )}
y
0
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}
(
f
−
1
)
′
(
y
0
)
=
lim
y
→
y
0
f
−
1
(
y
)
−
f
−
1
(
y
0
)
y
−
y
0
=
lim
y
→
y
0
1
y
−
y
0
f
−
1
(
y
)
−
f
−
1
(
y
0
)
=
lim
x
→
x
0
1
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
1
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}{y-y_{0}}}=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {1}{\frac {y-y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}={\frac {1}{f'(x_{0})}}}
כלומר
(
f
−
1
)
′
(
y
)
=
1
f
′
(
f
−
1
(
y
)
)
{\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(y)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}}
(אכן
f
−
1
(
x
)
∈
(
a
−
δ
,
a
+
δ
)
{\displaystyle f^{-1}(x)\in (a-\delta ,a+\delta )}
f
{\displaystyle f}
0
{\displaystyle 0}
^ Michael Spivak, Calculus on Manifolds , Addison-Wesley Publishing Company, 1965, p. 34-39
^ James R. Munkres, Analysis on Manifolds , Addison-Wesley Publishing Company, 1991, p. 62-69
![{\displaystyle \mathrm {D} f^{-1}(\mathbf {y} )=[\mathrm {D} f(\mathbf {x} )]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cca6b1fa332bb34e3e9921bf52bd37cca7848dd6)
![{\displaystyle \mathrm {D} f^{-1}(\mathbf {y} )=[\mathrm {D} f(f^{-1}(\mathbf {y} ))]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc21bcd4a89cc8720552696d8b185f4b46b2f761)
![{\displaystyle \mathrm {D} f^{-1}(f(\mathbf {x} ))=[\mathrm {D} f(\mathbf {x} )]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b801610710b3030d18cb0b9ece72a13d16c15a1)
