פתיחת התפריט הראשי

משפט השאריות

(הופנה מהדף משפט השארית)

באנליזה מרוכבת, משפט השאריות הוא משפט חשוב המאפשר לחשב אינטגרלים על מסלול סגור של פונקציות הולומורפיות באמצעות הכרת התנהגותן בנקודות הסינגולריות שלהן. משפט זה הוא הכללה של משפט אינטגרל קושי ונוסחת האינטגרל של קושי, ובנוסף לחשיבותו בתחום האנליזה המרוכבת, הוא גם מאפשר חישוב נוח של אינטגרלים ממשיים שלעיתים לא ניתן לחשב בדרך אחרת.

ניסוח פורמליעריכה

יהי   תחום פשוט קשר ויהיה   אוסף סופי של נקודות ב- , יהי   תהי   פונקציה הולומורפית ב-  ותהי   מסילה סגורה ב-  כך שכל הנקודות   מוקפות על ידה.

השארית של הפונקציה   בנקודה   היא המקדם של החזקה   בטור לורן של הפונקציה סביב הנקודה  . נסמן אותה  .

כמו כן נסמן ב-  את מספר הפעמים שבו המסילה   מקיפה את הנקודה   (האינדקס של המסילה)

אז מתקיים:  

כלומר, האינטגרל על המסילה שווה ל-  כפול סכום השאריות של נקודות הסינגולריות בתחום שמקיפה המסילה, כאשר כל שארית נלקחת כמספר הפעמים שמוקפת הנקודה הסינגולרית שלה.

דוגמהעריכה

נרצה לחשב את האינטגרל הבא:  

נשים לב כי בתוך המעגל   נקודת הסינגולריות היחידה של   היא  .

לכן, לפי משפט השאריות:  

נשתמש בפיתוח הפונקציה לטור לורן על מנת לחשב את השארית.

כידוע לנו:  . לכן:  

נחזור לפונקציה המקורית שלנו:

 

 

השארית היא כמו שאמרנו המקדם של האיבר   בטור לורן ולכן נקבל ש:   .

לכן מתקיים ש:  

הוכחהעריכה

על פי משפט האינטגרל של קושי, די להראות כי   כאשר האינטגרל נלקח על מעגל קטן דיו סביב הנקודה   כך שאינו מכיל נקודות סינגולריות נוספות של הפונקציה.

מכיוון שהפונקציה אנליטית סביב הנקודה  , ניתן לפתח אותה לטור לורן סביב נקודה זו:  . מכיוון שטור זה מתכנס במידה שווה מתקיים  

כעת, עבור   הפונקציה   אנליטית בכל העיגול  , ולכן על פי משפט אינטגרל קושי,  .

עבור   מתקיים גם כן   ואילו עבור   מתקיים  . את ההוכחה לכך ניתן לראות בהוכחת נוסחת האינטגרל של קושי.

מכל אלו נובע כי   כמבוקש.

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה