0
0
{\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}
עריכה
נניח כי
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
g
(
x
)
{\displaystyle g\left(x\right)}
פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או
±
∞
{\displaystyle \ \pm \infty }
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0}
L
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \,L=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
L
{\displaystyle L}
לכל
0
<
ε
{\displaystyle 0<\varepsilon }
0
<
δ
{\displaystyle 0<\delta }
x
{\displaystyle x}
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta }
L
−
ε
<
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
<
L
+
ε
{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f'(x)}{g'(x)}}<L+\varepsilon }
משפט הערך הממוצע של קושי
L
−
ε
<
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
g
(
x
1
)
−
g
(
x
2
)
<
L
+
ε
{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}<L+\varepsilon }
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
|
x
1
−
a
|
<
δ
,
|
x
2
−
a
|
<
δ
{\displaystyle |x_{1}-a|<\delta \,\,\,,|x_{2}-a|<\delta }
אם נשאיר את
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
a
{\displaystyle a}
L
−
ε
≤
lim
x
2
→
a
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
g
(
x
1
)
−
g
(
x
2
)
=
f
(
x
1
)
g
(
x
1
)
≤
L
+
ε
{\displaystyle L-\varepsilon \leq \lim _{x_{2}\to a}{\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}={\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}\leq L+\varepsilon }
כלומר,
L
−
ε
<
f
(
x
1
)
g
(
x
1
)
<
L
+
ε
{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}<L+\varepsilon }
|
x
1
−
a
|
<
δ
{\displaystyle |x_{1}-a|<\delta }
לכן,
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}
מש"ל.
∞
∞
{\displaystyle \textstyle {\frac {\infty }{\infty }}}
עריכה
נניח כי
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
g
(
x
)
{\displaystyle g\left(x\right)}
פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או
±
∞
{\displaystyle \ \pm \infty }
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
±
∞
,
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
±
∞
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty ,\lim _{x\to a}g(x)=\pm \infty }
L
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \,L=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
L
{\displaystyle L}
לכל
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
x
{\displaystyle x}
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta }
L
−
ε
<
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
<
L
+
ε
{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f'(x)}{g'(x)}}<L+\varepsilon }
משפט הערך הממוצע של קושי מתקיים
L
−
ε
<
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
g
(
x
1
)
−
g
(
x
2
)
<
L
+
ε
{\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}<L+\varepsilon }
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
0
<
|
x
1
−
a
|
<
δ
,
0
<
|
x
2
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x_{1}-a|<\delta \,\,\,,0<|x_{2}-a|<\delta }
נגדיר
β
(
x
1
,
x
2
)
=
g
(
x
1
)
g
(
x
1
)
−
g
(
x
2
)
⋅
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
f
(
x
1
)
{\displaystyle \beta (x_{1},x_{2})={\frac {g(x_{1})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}\cdot {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{f(x_{1})}}}
נשים לב ש
β
(
x
1
,
x
2
)
⋅
f
(
x
1
)
g
(
x
1
)
=
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
g
(
x
1
)
−
g
(
x
2
)
{\displaystyle \beta (x_{1},x_{2})\cdot {\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}={\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}}
נשים לב שאם נשאיר את
x
2
{\displaystyle x_{2}}
x
1
→
a
{\displaystyle x_{1}\rightarrow a}
lim
x
1
→
a
β
(
x
1
,
x
2
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x_{1}\to a}\beta (x_{1},x_{2})=1}
מכאן קל להוכיח שעבור
x
2
{\displaystyle x_{2}}
0
<
|
x
2
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x_{2}-a|<\delta }
δ
>
δ
1
{\displaystyle \delta >\delta _{1}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
0
<
|
x
1
−
a
|
<
δ
1
{\displaystyle 0<|x_{1}-a|<\delta _{1}}
β
(
x
1
,
x
2
)
>
0
{\displaystyle \beta (x_{1},x_{2})>0}
L
−
2
ε
<
L
−
ε
β
(
x
1
,
x
2
)
<
f
(
x
1
)
g
(
x
1
)
<
L
+
ε
β
(
x
1
,
x
2
)
<
L
+
2
ε
{\displaystyle L-2\varepsilon <{\frac {L-\varepsilon }{\beta (x_{1},x_{2})}}<{\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}<{\frac {L+\varepsilon }{\beta (x_{1},x_{2})}}<L+2\varepsilon }
לכן,
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}
בעזרת הכלל ניתן לחשב גם גבולות מהצורה
0
⋅
∞
,
1
∞
{\displaystyle 0\cdot \infty ,1^{\infty }}
f
(
x
)
→
0
,
g
(
x
)
→
∞
{\displaystyle \ f(x)\rightarrow 0,g(x)\rightarrow \infty }
lim
x
→
a
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\cdot g(x)}
אז
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
=
f
(
x
)
1
g
(
x
)
→
0
0
,
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
=
g
(
x
)
1
f
(
x
)
→
∞
∞
{\displaystyle f(x)\cdot g(x)={\frac {f(x)}{\frac {1}{g(x)}}}\rightarrow {\frac {0}{0}},f(x)\cdot g(x)={\frac {g(x)}{\frac {1}{f(x)}}}\rightarrow {\frac {\infty }{\infty }}}
וניתן להשתמש על ביטויים אלו בכלל לופיטל.
נניח כי
f
(
x
)
→
1
,
g
(
x
)
→
∞
{\displaystyle \ f(x)\rightarrow 1,g(x)\rightarrow \infty }
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}}
אז מתקיים:
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
exp
(
ln
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
)
=
exp
(
lim
x
→
a
g
(
x
)
ln
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to a}\exp {\left(\ln(f(x)^{g(x)})\right)}=\exp {\left(\lim _{x\to a}g(x)\ln {f(x)}\right)}}
וכעת יש במעריך גבול מהצורה
0
⋅
∞
{\displaystyle 0\cdot \infty }
לכל n טבעי, נחשב את הגבול
x
n
{\displaystyle x^{n}}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
x
{\displaystyle x}
שואף לאינסוף . זהו גבול של אינסוף חלקי אינסוף ולכן נחשבו באמצעות הפעלה חוזרת של כלל לופיטל נקבל:
lim
x
→
∞
x
n
e
x
=
lim
x
→
∞
n
x
n
−
1
e
x
=
⋯
=
lim
x
→
∞
n
!
e
x
=
0
{\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=\cdots =\lim _{x\to \infty }{\frac {n!}{e^{x}}}=0}
זאת כי
(
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle \ \left(e^{x}\right)'=e^{x}}
lim
x
→
1
(
x
−
1
)
2
ln
x
=
lim
x
→
1
2
(
x
−
1
)
1
/
x
=
0
{\displaystyle \ \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)^{2}}{\ln x}}=\lim _{x\to 1}{\frac {2(x-1)}{1/x}}=0}
זאת כי
(
ln
x
)
′
=
1
/
x
{\displaystyle \ \left(\ln x\right)'=1/x}
lim
x
→
1
(
x
−
1
)
ln
x
=
lim
x
→
1
1
1
/
x
=
1
{\displaystyle \ \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{\ln x}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1/x}}=1}
בכך הוכחנו שעבור מספרים
u
<<
1
{\displaystyle \ u<<1}
ln
(
1
+
u
)
≈
u
{\displaystyle \ \ln(1+u)\approx u}
השימוש בכלל לופיטל לא תמיד מצליח לפשט את הביטוי הנתון, למשל בדוגמה שלהלן:
lim
x
→
∞
e
ln
x
x
{\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}}
מאחר ש
e
ln
x
=
x
{\displaystyle e^{\ln {x}}=x}
(
e
ln
x
)
′
=
e
ln
x
/
x
{\displaystyle \ \left(e^{\ln x}\right)'=e^{\ln x}/x}
(
x
)
′
=
1
{\displaystyle \ (x)'=1}
אם נשתמש בכלל לופיטל נקבל (בגלל רציפות פונקציית האקספוננט) ש:
lim
x
→
∞
e
ln
x
x
=
lim
x
→
∞
e
ln
x
/
x
1
=
lim
x
→
∞
e
ln
x
x
{\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}/x}{1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}}
כלומר, כלל לופיטל מחזיר אותנו לאותו גבול שהתחלנו איתו ולכן הוא לא עוזר לחשב גבול זה. יש להיזהר מהוכחות מעגליות . למשל, לעיתים קרובות נוטים לחשב את הגבול
lim
x
→
0
sin
(
x
)
x
{\displaystyle \ \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}}
מכיוון שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס , מתקבל:
lim
x
→
0
sin
(
x
)
x
=
lim
x
→
0
cos
(
x
)
1
=
1
{\displaystyle \ \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1}}=1}
אולם, מכיוון שמקובל להוכיח שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס בעזרת שימוש בגבול של sin(x)/x , מתקבלת הוכחה מעגלית. ניתן לפתור בעיה זו אם מגדירים את פונקציות הסינוס והקוסינוס בעזרת טורי מקלורין (טורי טיילור בנקודה 0), ומוכיחים את נכונות הנגזרות באמצעות גזירת הטורים. 
