משפט השונות השלמה הוא משפט בתורת ההסתברות העוסק בפירוק של שונות של משתנה מקרי לגורמים של שונות של תוחלת מותנית ותוחלת של שונות מותנית במשתנה אחר.
אם X ו־Y הם משתנים מקריים, והשונות של Y היא סופית, אז משפט השונות השלמה אומר כי:
על פי הגדרת השונות:
![{\displaystyle \operatorname {Var} [Y]=\operatorname {E} [Y^{2}]-\operatorname {E} [Y]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f297286d416aa294c7d42f34b6d6563a9fbd7c92)
בעזרת משפט התוחלת השלמה:
![{\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y^{2}|X]\right]-\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4d501bc985e419a58313c3575dc7fff06d210b)
ניתן לשכתב את הביטוי למומנט השני של Y:
![{\displaystyle =\operatorname {E} \!\left[\operatorname {Var} [Y|X]+\operatorname {E} [Y|X]^{2}\right]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c14acc86559bbfb4dea6a1373ce8580dd4e8cb)
לפי ליניאריות התוחלת:
![{\displaystyle =\operatorname {E} [\operatorname {Var} [Y|X]]+\left(\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]^{2}]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384bcb020c2eca15ffa19f7da3122ae6212d4e8f)
לבסוף, ניתן לזהות את הביטוי בסוגריים כשונות התוחלת המותנית ![{\displaystyle E[Y|X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2eb858183d3dd598e437e1f52c0873191683b3)
:
![{\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} [Y|X]\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948c11e93cca495fd7414af3eabb7256b8234f4e)
