בגאומטריית המישור, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.
AD תיכון ל-BC
השטח הירוק ועוד השטח הכחול שווה לשטח האדום
כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים:
משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים:
![{\displaystyle \ mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5f25e13fd23fea6660b4afc45fac3c8a16a146)
במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.
נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם אז p<0)
במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים:
נעביר אגפים, ונקבל:
במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים:
נציב , ונקבל:
נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל:
על פי כלל המעבר, נקבל:
לאחר העברת אגפים, נקבל:
נסמן . כמו כן נסמן
אם , המשולש שווה שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס.
אחרת, , נחשב את שטח המשולש לפי נוסחת הרון:
נחשב את שטח המשולש ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה:
התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר . נשווה ביניהם ונמצא את
נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע:
נסדר את המשוואה:
נצמצם ב (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי ) ונקבל את התוצאה: