משפט התיכון

בגאומטריית המישור, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

AD תיכון ל-BC
השטח הירוק ועוד השטח הכחול שווה לשטח האדום

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים:

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים:

במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

הוכחהעריכה

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם   אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים:  

נעביר אגפים, ונקבל:  

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים:  

נציב  , ונקבל:  

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל:  

על פי כלל המעבר, נקבל:  

לאחר העברת אגפים, נקבל: