משפט התלתן

המשפט אומר כי 3 הקטעים האדומים שווים באורכם, או בצורה שקולה, שהמעגל המקווקו הוא בעל מרכז ב-S

משפט התלתן הוא משפט בתחום הגאומטריה אוקלידית במתמטיקה.

ניסוח המשפטעריכה

עבור ABC משולש אקראי, יהי I מרכז המעגל החסום שלו ויהי S נקודת החיתוך של חוצה הזווית של A ושל המעגל החוסם. אזי, B,I,C כולן במרחק שווה מ-S. באופן שקול:

  • יש מעגל שמרכזו S שעובר דרך B,I,C.
  • המשולשים BIS, BCS, CIS כולם שווי שוקיים עם קודקוד ראש ב-S.

גרסה חזקה יותר של המשפט אומרת כי גם IA, מרכז המעגל החסום מבחוץ מהצד של A, נמצא על אותו מעגל.

הוכחותעריכה

הוכחה בחשבון זוויותעריכה

אפשר להתבונן במשולש   ולחשב את זוויותיו, שכן צריך להראות שהוא שווה-שוקיים.   הוא מפגש חוצי זוויות. נסמן את זוויות המשולש ב- .

  מכך ש-  חוצה זווית, מאחר ש- , נקבל ש . בנוסף,  . מאחר שסכום הזוויות במשולש הוא 180,   ולכן משולש   שווה-שוקיים. בצורה סימטרית, ניתן להוכיח ש-  שווה-שוקיים ועל כן סיימנו.

הוכחה באמצעות משפט תאלס השניעריכה

 
אופן ההגדרה של IA, שבסרטוט זה מסומן ב-JA

הוכחה זו תוכיח גם את כך ש- , מרכז המעגל החסום מבחוץ, נמצא על המעגל. נקודה זו היא חיתוך חוצי הזוויות החיצוניים של   וחוצה הזווית הפנימי של  .

נשים לב שמפני ש- , נקבל כי  . לכן  היא חיתוך האנך האמצעי של   וחוצה הזווית של  .

חוצה זווית פנימי וחוצה זווית חיצוני מאונכים זה לזה, מה שאומר ש- . בגלל משפט תאלס השני, זה אומר שהמעגל שקוטרו   עובר דרך   ו- . מרכז מעגל זה צריך להיות על ישר   (שכן הוא קוטר) וגם על האנך האמצעי של   שכן אלו נקודות על המעגל. חיתוך שני הישרים האלו הוא   ולכן הוכחנו שיש מעגל שמרכזו   שעובר דרך  .

גרסה נוספתעריכה

למשפט ישנה גרסה נוספת, שכדי להוכיחה אפשר לקחת אחת מההוכחות הקודמות ולשנות בהתאם. נגדיר את N בתור חיתוך חוצה הזווית החיצוני של A והמעגל. הגרסה השנייה של המשפט אומרת כי יש מעגל שמרכזו N ושעובר דרך B,C,IB,IC.

בדרך כלל, קוראים לנקודות N,S בשמות האלה מכיוון שאם ישר BC הוא אופקי ו-A מעליו, S היא הנקודה הכי דרומית במעגל (South באנגלית) ו-N היא הנקודה הכי צפונית במעגל (North באנגלית).

שימוש לצורך בנית המשולשעריכה

בהינתן קודקוד אחד A, מרכז המעגל החסום I ומרכז המעגל החוסם O ניתן לבנות את המשולש ABC, באמצעות שימוש במשפט התלתן. הבניה היא כדלקמן:

  • בונים את המעגל החוסם כמעגל שמרכזו O ושעובר דרך A
  • הנקודה S נבנית על ידי חיתוך AI עם המעגל החוסם
  • מעבירים מעגל עם מרכז S שעובר דרך I
  • נקודות B,C הן שתי נקודות החיתוך של המעגל עם המעגל החוסם.

תהליך זה יכול להיכשל עבור A,O,I כלשהם, אם AI משיק למעגל החוסם או מפני שלשני המעגלים אין שתי נקודות חיתוך. תהליך זה גם יכול ליצור משולש בו הנקודה I היא מרכז מעגל החסום מבחוץ. במצבים אלו, לא קיים משולש אם A כקודקוד, I כמרכז המעגל החסום ו-O כמרכז המעגל החוסם.[1]

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Yiu, Paul (2012), "Conic construction of a triangle from its incenter, nine-point center, and a vertex", Journal for Geometry and Graphics 16 (2): 171–183, MR 3088369