משולש שווה-שוקיים

בגאומטריה, משולש שְׁוֵה שׁוֹקַיִם (בראשי תיבות: מש"ש,^[1] שש משש^[2]) הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו. הצלעות השוות נקראות "שוקיים" והצלע השלישית נקראת "בסיס".

תכונות

במשולש שווה-שוקיים, שתי הזוויות שמול הצלעות השוות, שוות גם הן. ההוכחה שנתן אוקלידס למשפט זה הייתה מסובכת וכללה כמה בניות עזר, עד שהיא כונתה "גשר החמורים" (לטינית: "pons asinorum") כי היא שימשה להבדיל בין מי שיוכל ללמוד גאומטריה למי שלא. לאחר מכן נתגלתה הוכחה פשוטה בהרבה בלי בניות עזר, שהסתמכה על חפיפת המשולש עם עצמו בסדר קודקודים שונה.^[3]
המשפט ההפוך נכון גם הוא, כלומר, אם במשולש שתי זוויות שוות זו לזו, אז הוא שווה-שוקיים.
במשולש שווה-שוקיים, הגובה לבסיס, התיכון לבסיס, חוצה זווית הראש והאנך אמצעי לבסיס מתלכדים. הם מתלכדים גם עם ישר אוילר ועליהם נמצאים מרכזי המעגל החוסם, המעגל החסום ומעגל תשע הנקודות.
המשפט ההפוך נכון גם הוא, כלומר אם שניים מהקטעים שהוזכרו לעיל מתלכדים, אז המשולש שווה-שוקיים.
במשולש שווה-שוקיים, שני הגבהים לשוקיים שווים זה לזה, וכך גם חוצי זוויות הבסיס והתיכונים לשוקיים.
המשפט ההפוך נכון גם הוא, כלומר, אם שני גבהים/תיכונים/חוצי זווית שווים זה לזה אז המשולש שווה-שוקיים. המשפט ההפוך עבור חוצי זווית נקרא "משפט שטיינר להמוס" ומפורסם בקושי שבהוכחתו.

משולשים שווי-שוקיים מיוחדים

משולש שווה-צלעות: משולש שכל שלוש צלעותיו שוות, וכל זוויותיו שוות. משולש כזה הוא משוכלל.
"משולש הכסף": משולש שהוא שווה-שוקיים וישר-זווית. זוויותיו הן 90, 45, 45 מעלות, והיחס בין הבסיס לשוק הוא השורש הריבועי של 2.
"משולש הזהב": משולש שווה-שוקיים שהיחס בין הבסיס לשוק או בין השוק לבסיס הוא יחס הזהב. זוויותיו הן 108, 36, 36 או 72, 72, 36.
טעות נפוצה היא לכנות גם משולש שזוויותיו הן 90, 60, 30 בשם "משולש זהב".