משפט ודרברן-ארטין

באלגברה, משפט ודרברן-ארטין הוא משפט מרכזי בתורת המבנה של חוגים ארטיניים, ובפרט של אלגברות מממד סופי. המשפט קרוי על שם ג'וזף ודרברן, שהוכיח אותו לאלגברות מממד סופי, ואמיל ארטין שהראה שהוא תקף גם בממד אינסופי אם מתקיים תנאי השרשרת היורדת.

כל חוג מטריצות $\ \operatorname {M} _{n}(D)$ מעל חוג עם חילוק D הוא פשוט וארטיני (כמודול שמאלי מעל עצמו). משפט ודרברן-ארטין קובע שגם ההפך נכון: כל חוג פשוט ארטיני, איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק D. יתרה מזו, החוג D וממד המטריצות נקבעים באופן יחיד על ידי החוג הנתון. למעשה, כל חוג ראשוני ארטיני איזומורפי למטריצות מעל חוג עם חילוק.

הטענה מתבססת על משפט הצפיפות של ג'ייקובסון. אומרים כי מודול מעל חוג הוא פריק לחלוטין אם לכל תת-מודול נתון שלו יש משלים (תת מודול נוסף, שחיתוכו עם תת-המודול הנתון הוא אפס וסכומם שווה למודול המקורי). אם M מודול שמאלי מעל חוג R, אז אפשר לראות את M כמודול ימני מעל חוג האנדומורפיזמים $D=\operatorname {End} ({}_{R}M)$, ויש הומומורפיזם מ-R אל חוג האנדומורפיזמים המתקבל, $\ {\hat {R}}=\operatorname {End} (M_{D})$. משפט הצפיפות קובע שאם M מודול פריק לחלוטין, אז תמונה זו של R בתוך $\ {\hat {R}}$ היא צפופה: לכל מספר סופי של איברים במודול ולכל אנדומורפיזם, קיים אנדומורפיזם מתוך התמונה שפועל באותו אופן על אותם האיברים.

הרעיון העומד מאחורי משפט ודרברן-ארטין הוא שלחוג ארטיני יש אידיאל מינימלי, כלומר מודול (שמאלי) פשוט של החוג. מן הראשוניות אפשר להוכיח שמודול זה הוא גם נאמן, ולכן החוג הוא למעשה פרימיטיבי. חוג האנדומורפיזמים של האידיאל המינימלי הוא חוג עם חילוק (לפי הלמה של שור), והחוג המקורי אינו אלא מטריצות מעליו, דבר שנובע ממשפט הצפיפות בשילוב עם תכונת הארטיניות.