משפט סלוצקי

בתורת ההסתברות, משפט סלוצקי מרחיב כמה מהתכונות של פעולות אלגבריות על סדרות מתכנסות של מספרים ממשיים על סדרות של משתנים מקריים.

המשפט נקרא על שם יבגני (אויגן) סלוצקי. המשפט מיוחס גם להרלד קרמר.

נוסח המשפט

יהו {X_n}, {Y_n} סדרות של משתנים מקריים סקלריים/וקטוריים/מטריציים.

אם X_n מתכנס בהתפלגות למשתנה מקרי $(X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X)$;

ו-Y_n מתכנס בהסתברות לקבוע c, אז

• $X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;$
• $X_{n}Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ cX;$
• $X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,$, כל עוד c הפיך.

כאשר ${\xrightarrow {d}}$ מציין התכנסות בהתפלגות.

הערות

1. הדרישה כי הסדרה Y_n מתכנסת לקבוע היא חשובה — אילו היא הייתה מתכנסת למשתנה מקרי שאיננו מנוון, המשפט לא היה תקף.
2. המשפט נשאר תקף אם נחליף את כל התכנסויות בהתפלגות עם התכנסויות בהסתברות (בשל מאפיין זה).

הוכחה

אם X_n מתכנס בהתפלגות ל-X ו-Y_n מתכנס בהסתברות לקבוע c, אז הווקטור (X_n, Y_n) מתכנס בהתפלגות אל (X, c) (ראו כאן).

נגדיר לכל אחת ממסקנות המשפט פונקציה:

• $g\left(x,y\right)=x+y$,
• $g\left(x,y\right)=x\cdot y$,
• $g\left(x,y\right)=x\cdot y^{-1}$,

בהתאמה. כל אחת מהפונקציות האלו רציפה (במקרה האחרון, הפונקציה רציפה רק אם y הפיך), והמסקנות נובעות עכשיו ממשפט ההעתקה הרציפה.

ראו גם

• התכנסות (הסתברות)

לקריאה נוספת

• Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probability and Random Processes (שלישית ed.). Oxford.