משפט סקולם-נתר

משפט סקולם-נתר הוא משפט באלגברה המאפיין את האוטומורפיזמים של אלגבראות פשוטות סוף ממדיות, וקובע כי כולם מהווים הצמדה באיבר הפיך. המשפט הוכח לראשונה על ידי תורלף סקולם בשנת 1927. אמי נתר הוכיחה אותו מאוחר יותר באופן בלתי תלוי. זהו משפט בסיסי בתורת האלגבראות פשוטות מרכזיות, המהווה כלי עזר מרכזי בתאוריה.

ניסוח

תהי $A$ אלגברה פשוטה מרכזית מעל שדה $F$ , ויהיו $A_{1},A_{2}$ תת-אלגבראות פשוטות איזומורפיות שלה. אז כל איזומורפיזם $\phi :A_{1}\to A_{2}$ הוא הצמדה באיבר הפיך מ- $A$ .

הוכחה

נביט באלגברה $T=A_{1}\otimes _{F}A^{op}$ , כאשר $\otimes$ היא המכפלה הטנזורית, ו- $op$ הוא החוג המנוגד. מכיוון ש- $A^{op}$ אלגברה פשוטה מרכזית מעל $F$ וכן $A_{1}$ אלגברה פשוטה, נובע כי $T$ אלגברה פשוטה. $A$ היא מודול מעל $T$ בשתי דרכים: פעם אחת על ידי הפעולה $(a\otimes y)r=ary$ (נסמנו $M_{1}$ ), ופעם נוספת על ידי הפעולה $(a\otimes y)r=\phi (a)ry$ (נסמנו $M_{2}$ ).

יהי $M_{0}$ המודול הפשוט היחיד של $T$ (קיים כי היא פשוטה ארטינית). מתקיים $M_{1}\cong M_{0}^{k}\cong M_{2}$ , כאשר $k={\frac {[A:F]}{[M_{0}:F]}}$ . בפרט, המודולים איזומורפיים, נניח על ידי איזומורפיזם $f\colon M_{1}\to M_{2}$ . על פי הגדרת הפעולות, מתקיים $f(ary)=\phi (a)f(r)y$ . האיבר $u=f(1)$ מקיים את הדרוש בטענת המשפט: על ידי הצבת $y=r=1$ מקבלים $ua=\phi (1)f(1)a=f(a)=\phi (a)f(1)1=\phi (a)u$ מכאן $ua=f(a)=\phi (a)u$ לכל $a\in A$ . אם נציב במקום $a$ את $v=f^{-1}(1)$ נקבל $uv=1=\phi (v)u$ ולכן $u$ הפיך.