גרדיאנט

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

גְרָדִיאֵנְט הוא הכללה של מושג הנגזרת עבור חשבון אינפיניטסימלי של מספר מרובה של משתנים. הגרדיאנט הוא אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור.

המחשה של גרדיאנט. באיורים האלה, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אֲזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החיצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. החיצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר.

כיווּן וקטור הגרדיאנט מצביע אל הכיוון שבו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי). גודל וקטור הגרדיאנט הוא כשיעור השינוי המקסימלי.

אינטואיציה

נתבונן לדוגמה, באזור הררי. הגובה של כל נקודה ברכס ההרים יתואר על ידי פונקציה (שדה סקלרי). בכל נקודה, ניתן להסתכל על הכיוון שבו השיפוע לפונקציה שהותאמה לה הוא הגדול ביותר. זהו למעשה הכיוון שבו הגובה משתנה בצורה המהירה והחזקה ביותר. אם נשחרר כדור בנקודה זו, הוא יתגלגל בדיוק לכיוון ההפוך (שיפוע חזק ביותר לכיוון השלילי). באופן זה ניתן להתאים לכל נקודה וקטור בכיוון השיפוע הגדול ביותר, וגודלו נקבע על פי גודל השיפוע. וקטור זה הוא וקטור הגרדיאנט.

דוגמה נוספת היא בניית כבישים וגגות כך שהמים יתנקזו באופן יעיל. יש ליצור שיפוע קטן על מנת שהמים יזרמו אל פתח הניקוז. המסלול שהמים מבצעים בדרכם אל המרזב, הוא הכיוון שבו הגובה משתנה בצורה הכי מהירה, שהוא גם וקטור הגרדיאנט.

סימון

הגרדיאנט של פונקציה סקלרית $\ f$מסומן על ידי : $$\operatorname {grad} \ f=\nabla \ f={\vec {\nabla }}\ f$$ כאשר ${\nabla }$ מסמל את אופרטור הגזירה דֶל (סמל המשולש עצמו נקרא בשם "נבּלה"). כאשר משתמשים במערכת קואורדינטות, וקטורי הבסיס אינם פונקציות של המיקום במרחב, הגרדיאנט נתון כווקטור של נגזרות חלקיות. למשל במרחב אוקלידי תלת־ממדי $${\nabla }\equiv {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\equiv \left(\ \partial _{x},\ \ \partial _{y},\ \ \partial _{z}\right)$$

מן ההגדרה נובע שהגרדיאנט הוא וקטור, כיוון שהפעלת וקטור הנגזרות החלקיות (אופרטור הגזירה דֶל) על הפונקציה סקלרית מחזירה וקטור (הגרדיאנט).

הגדרה פורמלית במרחב האוקלידי התלת־ממדי

במרחב אוקלידי תלת־ממדי, הגרדיאנט של שדה סקלרי כלשהו שמתואר על ידי קואורדינטות קרטזיות $\ \psi (x,y,z)$ מוגדר כך:

${\nabla }\psi (x,y,z)\equiv {\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial z}}{\hat {z}}$

כאשר $\{{\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}\}$ הם וקטורי היחידה המקבילים לצירים.

באופן כללי, עבור $\ f$ פונקציה סקלרית כלשהי מעל מרחב וקטורי בעל $\ n$ממדים, ניתן להגדיר את הגרדיאנט כך:

$\operatorname {grad} f(a)\equiv \left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)$

למה וקטור גרדיאנט נותן את הכיוון שבו השינוי הוא מקסימלי?

נסתכל על ההגדרה של נגזרת כיוונית, ונשאל מהו הווקטור שבו המכפלה הסקלרית עם וקטור הגרדיאנט תהיה מקסימלית? מהגדרת המכפלה הסקלרית, ברור שהמקסימום יתקבל כאשר הזווית בין הווקטורים תהיה אפס (קוסינוס מקבל ערך מקסימלי באפס), ומכאן נובע שהווקטור שבו המכפלה הסקלרית תהיה מקסימלית היא וקטור הגרדיאנט עצמו.

דוגמה

הפוטנציאל הוא שדה סקלרי $\ U({\vec {r}})$, והכוח שפועל על חלקיק שנמצא בהשראת אנרגיה פוטנציאלית הוא הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית $\ {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\nabla }U({\vec {r}})$ (ראה דוגמאות ספציפיות בערך אנרגיה פוטנציאלית). לכן, הכוח שיפעל על הגוף ימשוך אותו לכיוון שבו הפוטנציאל יקטן הכי הרבה.

דוגמה נוספת (חישובית):

יהי $f(\mathbf {r} )=|\mathbf {r} |=r$ שדה סקלרי (הגזיר בכל מקום פרט ל־$\mathbf {r} =0$). אז הגרדיאנט שלו (בקואורדינטות קרטזיות) הוא:

${\nabla }f={\frac {\partial r}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\frac {\partial r}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+{\frac {\partial r}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}={\frac {x{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+y{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+z{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}={\frac {\mathbf {r} }{r}}={\hat {\mathbf {r} }}$

שכן ${\frac {\partial }{\partial x}}r={\frac {\partial }{\partial x}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}={\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}$.
כדאי לשים לב שהחישוב הוא מיידי בקואורדינטות כדוריות, ששם הגרדיאנט נתון על ידי הנוסחה:

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {\mathbf {\theta } }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {\mathbf {\phi } }}$

ומאחר ש־${\frac {\partial r}{\partial \theta }}=0={\frac {\partial r}{\partial \phi }}$ מקבלים ש־

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\partial r}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}={\hat {\mathbf {r} }}$.

כצפוי, בשתי הדרכים קיבלנו תוצאה זהה.

גרדיאנט באנליזה על יריעות

את הגרדיאנט יותר טבעי להגדיר דווקא כפונקציונל הנקרא "דיפרנציאל":

$\ df=\sum _{\mu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}dx^{\mu }$

פונקציונל זה מקבל וקטור v ומחזיר את הסקלר:

$\ (df)({\vec {v}})=\langle df,{\vec {v}}\rangle =\sum _{\mu }v^{\mu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}$

האות $\mu$ הכתובה בכתיב עילי מייצגת אינדקס רץ שמייצג קואורדינטה של וקטור ולא חזקה.

במרחב עם מטריקה, אפשר להגדיר את הגרדיאנט כווקטור על ידי "העלאת אינדקסים", כלומר, על ידי התאמת וקטור ${\nabla }f$ ל־df כך ש־

$\ df({\vec {v}})=g({\vec {v}},{\nabla }f)$

כאשר g היא המטריקה: תבנית ביליניארית סימטרית וחיובית בהחלט.

בקואורדינטות אפשר לכתוב את וקטור הגרדיאנט כך:

$\ {\nabla }f=\sum _{\mu ,\nu }g^{\mu \nu }(df)_{\nu }\partial _{\mu }=\sum _{\mu }\left(\sum _{\nu }g^{\mu \nu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\nu }}}\right)\partial _{\mu }$

כאשר $g^{\mu \nu }$ הוא האיבר בשורה ה־$\mu$ והעמודה ה־$\nu$ של המטריקה ההופכית (היינו המטריצה ההופכית למטריקה, g^-1) ו־$\partial _{\mu }={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x^{\mu }}}$ הם הווקטורים המשיקים הפורשים את המרחב המשיק בנקודה.

גרדיאנט במערכת קואורדינטות אורתוגונליות

נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית $(q_{1},q_{2},q_{3})$. כלומר, וקטורי היחידה המתאימים מקיימים:

${\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}$

כאשר

$\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\textrm {If}}\ i=j\\0&{\textrm {If}}\ i\neq j\end{cases}}$

הוא הדלתא של קרונקר.

הווקטורים המשיקים הם ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$.

נרשום צורה כללית לגרדיאנט של פונקציה סקלרית $f$:

$\nabla f=\sum _{i=1}^{3}f_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$

ונמצא את המקדמים $f_{1},f_{2},f_{3}$.

לשם כך נחשב את הדיפרנציאל של $f$:

$df=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}dq_{i}$

מתקיים ש־$df=\nabla f\cdot d\mathbf {r}$ אבל

$d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}dq_{i}=\sum _{i=1}^{3}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}dq_{i}$

ולכן, כיוון שווקטורי היחידה המשיקים הם אורתוגונליים ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}$ מתקיים

$\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}dq_{i}=df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{3}f_{i}h_{i}dq_{i}$

מכיוון ש־$dq_{1},dq_{2},dq_{3}$ בלתי־תלויים נשווה מקדמים איבר איבר ונקבל

$f_{i}={\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}$

ומכאן נקבל

$\nabla f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{1}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{2}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{3}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}$

כנדרש.

הערה: ההכללה לממד n־י מיידית. עובדים עם הצגת הסכומים כ־$\Sigma$ ונותנים לכל אינדקס לרוץ מ־1 עד n.

הוכחה המבוססת על גאומטריה דיפרנציאלית

נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית $(q^{1},q^{2},q^{3})$.

הווקטורים המשיקים הם: $\partial _{q^{i}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}=h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ כאשר ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ הם וקטורים משיקים מנורמלים ו־$h_{i}$ הם ה־scale factors.

הטנזור המטרי במקרה של קואורדינטות אורתוגונליות

$g={\mbox{diag}}(h_{1}^{2},h_{2}^{2},h_{3}^{2})$

הוא מטריצה אלכסונית, ונזכור ש־

$\ dq^{i}=\sum _{j}g^{ij}\partial _{q^{j}}$

כאשר $g^{ij}=g^{-1}={\mbox{diag}}(1/h_{1}^{2},1/h_{2}^{2},1/h_{3}^{2})$ היא המטריצה ההופכית ל־g.

נציב בהגדרת הגרדיאנט,

$\nabla f=\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}dq^{i}=\sum _{ij}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{q^{j}}=\sum _{ij}{\frac {1}{h_{i}^{2}}}\delta ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{q^{j}}=\sum _{i}{\frac {1}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$

(המעבר השלישי נעשה כי $g^{ij}$ מטריצה אלכסונית, $g^{ij}=(1/h_{i}^{2})\delta ^{ij}$ כאשר $\delta ^{ij}$ היא הדלתא של קרונקר)
ובסך הכול נקבל

$\nabla f={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{1}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{2}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{3}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}$

קשרים בין אופרטורים

• • דיברגנץ, גרדיאנט ולפלסיאן: $\operatorname {div} \ \operatorname {grad} =\Delta$

משפט הגרדיאנט

משפט הגרדיאנט גורס שאם $f(\mathbf {r} )=f(x,y,z)$ היא שדה סקלרי (פונקציה $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ ) חלק מספיק (גזיר ברציפות), אז לכל מסילה שמתחילה בנקודה A ומסתיימת בנקודה B האינטגרל הקווי על $\nabla f$ לאורך המסילה איננו תלוי במסילה עצמה אלא רק בנקודות הקצה, ומתקיים

$\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla f\cdot d\mathbf {r} =f(\mathbf {B} )-f(\mathbf {A} )$

לשדה הווקטורי $\nabla f$ קוראים "שדה וקטורי משמר" או בהקשר של פיזיקה "כוח משמר" ומתקיים

$\nabla \times \nabla f=0$

ראו גם

• פונקציונל
• טנזור
• קואורדינטות
• דיברגנץ

לקריאה נוספת

• מורי ר. שפיגל, אנליזה וקטורית, סדרת שאום

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא גרדיאנט בוויקישיתוף

• גרדיאנט, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• גרדיאנט, באתר MathWorld (באנגלית)