גרדיאנט

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

המחשה של גרדיאנט. באיורים האלה, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. החצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר.

גרדיאנט הוא הכללה של מושג הנגזרת בעבור חשבון אינפיניטסימלי של מספר משתנים. הגרדיאנט הוא אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור.

כיוון וקטור הגרדיאנט מצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי). גודל וקטור הגרדיאנט כשיעור השינוי המקסימלי.

אינטואיציה

נתבונן לדוגמה, באזור הררי. הגובה של כל נקודה ברכס ההרים יתואר על ידי פונקציה (שדה סקלרי). בכל נקודה, ניתן להסתכל על הכיוון בו השיפוע לפונקציה שהותאמה לה הוא הגדול ביותר. זהו, למעשה, הכיוון בו הגובה משתנה בצורה המהירה (החזקה) ביותר. אם נשחרר כדור בנקודה זו, הוא יתגלגל בדיוק לכיוון ההפוך (שיפוע חזק ביותר לכיוון השלילי). באופן זה, ניתן להתאים לכל נקודה וקטור בכיוון השיפוע הגדול ביותר, וגודלו נקבע על פי גודל השיפוע. וקטור זה הוא וקטור הגרדיאנט.

דוגמה נוספת היא בניית כבישים וגגות כך שהמים יתנקזו באופן יעיל. יש ליצור שיפוע קטן, על מנת שהמים יזרמו אל פתח הניקוז. המסלול שהמים מבצעים בדרכם אל המרזב, הוא הכיוון בו הגובה משתנה בצורה הכי מהירה, שהוא גם וקטור הגרדיאנט.

סימון

אם $\ f$ פונקציה סקלרית והגרדיאנט שלה הוא פונקציה וקטורית ${\vec {F}}$, נסמן:

$${\vec {F}}=\operatorname {grad} \ f=\nabla \ f={\vec {\nabla }}\ f$$

כאשר ${\nabla }$ מסמל את אופרטור הגזירה דֶל (סמל המשולש עצמו נקרא בשם "נבלה") המוגדר כווקטור של נגזרות חלקיות, כלומר:

$${\nabla }\equiv {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\equiv \left(\ \partial _{x}\,\ \partial _{y}\,\ \partial _{z}\right)$$

מתוך ההגדרה נובע שהגרדיאנט הוא וקטור, כיוון שמכפלת וקטור (אופרטור הגזירה דֶל) בסקלר (הפונקציה הסקלרית) מחזירה וקטור (הגרדיאנט).

הגדרה פורמלית במרחב האוקלידי התלת ממדי

במרחב אוקלידי תלת ממדי, הגרדיאנט של שדה סקלרי כלשהו שמתואר על ידי קואורדינטות קרטזיות $\ \psi (x,y,z)$ מוגדר כך:

${\nabla }\psi (x,y,z)\equiv {\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial z}}{\hat {z}}$

כאשר $\{{\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}\}$ הם וקטורי היחידה המקבילים לצירים.

באופן כללי, עבור $\ f$ פונקציה סקלרית כלשהי מעל מרחב וקטורי בעל $\ n$ ממדים, ניתן להגדיר את הגרדיאנט כך:

$\operatorname {grad} f(a)\equiv \left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)$

למה וקטור גרדיאנט נותן את הכיוון בו השינוי הוא מקסימלי?

נסתכל על ההגדרה של נגזרת כיוונית, ונשאל מהו הווקטור שבו המכפלה הסקלרית עם וקטור הגרדיאנט תהיה מקסימלית? מהגדרת המכפלה הסקלרית, ברור שהמקסימום יתקבל כאשר הזווית בין הווקטורים תהיה אפס (קוסינוס מקבל ערך מקסימלי באפס), ומכאן נובע שהווקטור שבו המכפלה הסקלרית תהיה מקסימלית היא וקטור הגרדיאנט עצמו.

דוגמה

הפוטנציאל הוא שדה סקלרי $\ U({\vec {r}})$, והכוח שפועל על חלקיק שנמצא בהשראת אנרגיה פוטנציאלית הוא הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית $\ {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\nabla }U({\vec {r}})$ (ראה דוגמאות ספציפיות בערך אנרגיה פוטנציאלית). לכן, הכוח שיפעל על הגוף ימשוך אותו לכיוון בו הפוטנציאל יקטן הכי הרבה.

דוגמה נוספת (חישובית):

יהי $f(\mathbf {r} )=|\mathbf {r} |=r$ שדה סקלרי (הגזיר בכל מקום פרט ל-$\mathbf {r} =0$). אזי הגרדיאנט שלו (בקואורדינטות קרטזיות) הוא

${\nabla }f={\frac {\partial r}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\frac {\partial r}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+{\frac {\partial r}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}={\frac {x{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+y{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+z{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}={\frac {\mathbf {r} }{r}}={\hat {\mathbf {r} }}$

שכן ${\frac {\partial }{\partial x}}r={\frac {\partial }{\partial x}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}={\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}$.
כדאי לשים לב שהחישוב הוא מיידי בקואורדינטות כדוריות, שם הגרדיאנט נתון על ידי הנוסחה

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {\mathbf {\theta } }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {\mathbf {\phi } }}$

ומאחר ש ${\frac {\partial r}{\partial \theta }}=0={\frac {\partial r}{\partial \phi }}$ מקבלים ש-

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\partial r}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}={\hat {\mathbf {r} }}$.

כצפוי, בשתי הדרכים קיבלנו תוצאה זהה.

גרדיאנט באנליזה על יריעות

את הגרדיאנט יותר טבעי להגדיר דווקא כפונקציונל הנקרא "דיפרנציאל":

$\ df=\sum _{\mu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}dx^{\mu }$

פונקציונל זה מקבל וקטור v ומחזיר את הסקלר

$\ (df)({\vec {v}})=\langle df,{\vec {v}}\rangle =\sum _{\mu }v^{\mu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}$

האות $\mu$ הכתובה בכתיב עילי מייצגת אינדקס רץ שמייצג קואורדינטה של וקטור ולא חזקה.

במרחב עם מטריקה, אפשר להגדיר את הגרדיאנט כווקטור על ידי "העלאת אינדקסים", כלומר, על ידי התאמת וקטור ${\nabla }f$ ל-df כך ש

$\ df({\vec {v}})=g({\vec {v}},{\nabla }f)$

כאשר g היא המטריקה: תבנית ביליניארית סימטרית וחיובית בהחלט.

בקואורדינטות אפשר לכתוב את וקטור הגרדיאנט כך:

$\ {\nabla }f=\sum _{\mu ,\nu }g^{\mu \nu }(df)_{\nu }\partial _{\mu }=\sum _{\mu }\left(\sum _{\nu }g^{\mu \nu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\nu }}}\right)\partial _{\mu }$

כאשר $g^{\mu \nu }$ הוא האיבר בשורה ה-$\mu$ והעמודה ה--$\nu$ של המטריקה ההופכית (כלומר: המטריצה ההופכית למטריקה, g^-1) ו-$\partial _{\mu }={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x^{\mu }}}$ הם הווקטורים המשיקים הפורשים את המרחב המשיק בנקודה.

גרדיאנט במערכת קואורדינטות אורתוגונליות כלשהי

נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית $(q_{1},q_{2},q_{3})$. כלומר, וקטורי היחידה המתאימים מקיימים

${\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}$

כאשר

$\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\textrm {If}}\ i=j\\0&{\textrm {If}}\ i\neq j\end{cases}}$

הוא הדלתא של קרונקר.

הווקטורים המשיקים הם ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$.

נרשום צורה כללית לגרדיאנט של פונקציה סקלרית כלשהי $f$:

$\nabla f=\sum _{i=1}^{3}f_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$

ונמצא את המקדמים $f_{1},f_{2},f_{3}$.

לשם כך נחשב את הדיפרנציאל של $f$:

$df=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}dq_{i}$

מתקיים ש-$df=\nabla f\cdot d\mathbf {r}$ אבל

$d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}dq_{i}=\sum _{i=1}^{3}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}dq_{i}$

ולכן, כיוון שווקטורי היחידה המשיקים הם אורתוגונליים ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}$ מתקיים

$\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}dq_{i}=df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{3}f_{i}h_{i}dq_{i}$

מכיוון ש-$dq_{1},dq_{2},dq_{3}$ בלתי תלויים נשווה מקדמים איבר איבר ונקבל

$f_{i}={\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}$

ומכאן נקבל

$\nabla f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{1}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{2}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{3}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}$

כנדרש.

הערה: ההכללה לממד כלשהו n מיידית. עובדים עם הצגת הסכומים כ-$\Sigma$ ונותנים לכל אינדקס לרוץ מ-1 עד n.

הוכחה המבוססת על גאומטריה דיפרנציאלית

נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית $(q^{1},q^{2},q^{3})$.

הווקטורים המשיקים הם: $\partial _{q^{i}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}=h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ כאשר ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ הם וקטורים משיקים מנורמלים ו-$h_{i}$ הם ה-scale factors.

הטנזור המטרי במקרה של קואורדינטות אורתוגונליות

$g={\mbox{diag}}(h_{1}^{2},h_{2}^{2},h_{3}^{2})$

הוא מטריצה אלכסונית, ונזכור ש-

$\ dq^{i}=\sum _{j}g^{ij}\partial _{q^{j}}$

כאשר $g^{ij}=g^{-1}={\mbox{diag}}(1/h_{1}^{2},1/h_{2}^{2},1/h_{3}^{2})$ היא המטריצה ההופכית ל-g.

נציב בהגדרת הגרדיאנט,

$\nabla f=\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}dq^{i}=\sum _{ij}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{q^{j}}=\sum _{ij}{\frac {1}{h_{i}^{2}}}\delta ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{q^{j}}=\sum _{i}{\frac {1}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$

(המעבר השלישי נעשה כי $g^{ij}$ מטריצה אלכסונית, $g^{ij}=(1/h_{i}^{2})\delta ^{ij}$ כאשר $\delta ^{ij}$ היא הדלתא של קרונקר)
ובסך הכול נקבל

$\nabla f={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{1}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{2}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{3}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}$

קשרים בין אופרטורים

• • דיברגנץ, גרדיאנט ולפלסיאן: $\operatorname {div} \ \operatorname {grad} =\Delta$

משפט הגרדיאנט

משפט הגרדיאנט אומר שאם $f(\mathbf {r} )=f(x,y,z)$ היא שדה סקלרי (פונקציה $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ ) חלק מספיק (גזיר ברציפות), אזי לכל מסילה שמתחילה בנקודה כלשהי A ומסתיימת בנקודה כלשהי B האינטגרל הקווי על $\nabla f$ לאורך המסילה לא תלוי במסילה עצמה אלא רק בנקודות הקצה ומתקיים

$\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla f\cdot d\mathbf {r} =f(\mathbf {B} )-f(\mathbf {A} )$

לשדה הווקטורי $\nabla f$ קוראים "שדה וקטורי משמר" או בהקשר של פיזיקה "כוח משמר" ומתקיים

$\nabla \times \nabla f=0$

ראו גם

• פונקציונל
• טנזור
• קואורדינטות
• דיברגנץ

לקריאה נוספת

• מורי ר. שפיגל, אנליזה וקטורית, סדרת שאום

קישורים חיצוניים

• גרדיאנט, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• גרדיאנט, באתר MathWorld (באנגלית)