משפט שימור האינטגרל

בחשבון דיפרינציאלי ואינטגרלי, משפט שימור האינטגרל(או בשמו המלא המשפט היסודי של תורת שימור האינטגרלים והדיפרנציאלים), הוא אחת משלושת האקסיומות לתורת השימור האינטגרלית.

הגדרה פורמלית

יהי מרחב אינטגרלי לא מסויים $\xi$ בעל בסיס אינטגרלי אורטונורמלי $S=[s_{n}]|_{1}^{n}$, ואינטגרל לא מסויים $I\in \xi$. נסמן את המקדמים של $I$ מעל הבסיס להיות $[i_{n}]|_{1}^{n}$, כלומר $I=([i_{n}]|_{1}^{n})^{*}S$. אזי לכל בסיס אורטורנורמלי ל$\xi$: $S'\neq S$,קיימים מקדמים $[i'_{n}]|_{1}^{n}$, כך ש$I=([i_{n}]|_{1}^{n})^{*}S=([i'_{n}]|_{1}^{n})^{*}S'$, וגם $\forall _{k\in {1,...,n}}\exists _{(j\neq k|j\in {1,...,n}}:\lVert i_{k}]\rVert =\lVert i'j\rVert$ תחת הנורמה של המרחב $\xi$.

ביריעות חלקות

ביריעות חלקות, כמות סימני האינטגרל, ועוד כמות עיגולי המסלולים הסגורים, פחות כמות הדיפרנציאלים קבועה לכל הצגה שקולה של האינטגרל, ושווה למימד המרחב האינטגרלי.

נהוג לסמן זאת בצורה הבאה:

$|\int |+|O|-|d|=|\xi |=constant$

כאשר הקבוע הוא מימד המרחב האינטגרלי(לא הוקטורי), ה"עיגול" מסמן אם המסלול(במקרה של מרחב ממימד 3 או פחות) הוא סגור או לא.

המרחב נקרא מרחב מסדר 0 או מרחב הומוגני כאשר $|\xi |=0$.

דוגמאות

משפט סטוקס

ע"פ סטוקס: בהינתן יריעה דיפרנציאלית קומפקטית אוריינטבילית $M$, ותבנית דיפרנציאלת $\omega$ מעל $M$ מתקיים: $\int _{M}\,\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega \!\,$. האינטגרל הוא כללי ולפיכך לא מחושב, ולכן משפט שימור האינטגרל תקף. מכיוון ש$M$ הינה יריעה חלקה, מתקיים לכל הצגה שקולה:

$|\int |-|d|=constant$

ובמקרה שלנו:

$1-1=1-1=0$

בגלל שערך הקבוע הינו 0, אז האינטגרל במשפט סטוקס נקרא הומוגני.

משפט גאוס(משפט הדיברגנץ)

ע"פ גאוס: יהי $V$ תחום חלק סגור מעל $R^{3}$, ויהי ${\vec {F}}$ שדה וקטורי גזיר בסביבת $V$, אזי:

$\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$

אנחנו רואים שבצד שמאל של המשוואה יש לנו שלושה איטגרלים, ודיפרנציאל אחד(הדיברגנץ לא נכלל), ולכן מימד המרחב הוא $2+2=4$.

בצד ימין יש שני אינטגרלים, דיפרנציאל אחד, וסימון יריעה סגורה אחת, ולכן מימד המרחב נשמר ושווה ל$1+2+1=4$.

ראו גם

• המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי