משתמש:עשו/הנחיה אופטימלית

עקרונות הנחיה אופטימלית:

• הטיל צריך לנוע כך שבכל עת יווצר משולש התנגשות. לשם כך הנחת האידיאליזציה היא שלטיל מידע מושלם על מיקומה, מהירותה, ותאוצתה של המטרה (כוקטורים).
• הנרדף צריך כל העת להפעיל תאוצה שתגרום לטיל להפעיל תאוצה מירבית על מנת לשמור על משולש ההתנגשות.

פיתוח מתמטי

הנחות: מהירות הרודף קבועה ושווה ל-V, מהירות הנרדף קבועה ושווה U, תאוצות הרודף והנרדף חסומות בגודלן $A_{1}\geq a_{1},A_{2}\geq a_{2}$ ( $a_{1}$ תאוצת הנרדף, ו-$a_{2}$ תאוצת הרודף). נניח שבתחילה הרודף והנרדף נעים לאורך הישר שמחבר ביניהם. כעת הנרדף מפעיל תאוצה שמקיימת $a_{1}=A_{2}$ כך שהטיל יצטרך להשתמש בתאוצה המירבית שלו כדי לשמור על משולש ההתנגשות. באופן כללי כל עוד כיוון קו הראייה נשמר מקביל לקו ההתחלתי ניתן להסתכל רק על מהירויות הרודף והנרדף כבסיס לחישוב התאוצות הנדרשות. אם הזווית שיוצרת מהירות הנרדף עם קו הראייה היא $\theta _{1}$ אז הזווית שיוצרת מהירות הרודף עם קו הראייה מקיימת $Vsin\theta _{2}=Usin\theta _{1}$. לפיכך התאוצה של הנרדף צריכה לקיים: $a_{1}*U/U*cos\theta _{1}=A_{2}*V/V*cos\theta _{2}$ או $a_{1}cos\theta _{1}=a_{2}cos\theta _{2}$. נסמן ב-$\beta$ את יחס המהירויות V/U ונקבל $\beta sin\theta _{2}=sin\theta _{1}$ ולכן :$cos\theta _{1}/cos\theta _{2}=(1-(\beta sin\theta _{2})^{2})^{1/2}/(1-(sin\theta _{2})^{2})^{1/2}=f(\theta _{2})$. המטרה היא למצוא את הזווית $\theta _{2}$ האופטימלית לביצוע תמרונים מבחינת הנרדף, כלומר את הזווית $\theta _{2}$ עבורה ערך $f(\theta _{2})$ מירבי.

אסטרטגיה אופטימלית

מהי אסטרטרגיית הנחיה אופטימלית? עד כה הנחנו שכל העת נוצר משולש התנגשות רגעי כלומר הנחנו ששיטת ההנחייה היא ניווט מקבילי. אולם מרגע שהמטרה מאיצה ניתן לסמן נקודת יירוט עתידית בהתבסס לא רק על המיקומים והמהירויות אלא גם בהנחת תאוצה קבועה, ונקודת יירוט זו שונה מנקודת היירוט המתקבלת בניווט מקבילי. אולם המטרה יודעת שהטיל מתאים את עצמה לדפוס התנועה שלה (תאוצתה) ולכן היא תנסה לשנות את דפוס התנועה שלה, כלומר לייצר נגזרת לתאוצה שלה. כמן כן, הטיל יודע שהמטרה תנסה לשנות את דפוס התנועה שלה, ולכן ישנה את דפוס התנועה שלו בהתאם. כך זה ממשיך הלאה והלאה, ונוצרת שרשרת של חשיבה על פעולות האויב, כך שמתקבלות שתי פונקציות בקרה גזירות אינסוף פעמים $u_{1}(t)$ ו-$u_{2}(t)$ לבקרת המטרה והטיל. למעשה, התהליך האיטרטיבי של ידיעה מה הסדר הבא של דפוס התנועה של הרודף והנרדף מתכנס בסופו של דבר לשתי פונקציות בקרה מסוימות, שככל הנראה ניתנות לביטוי באמצעות פונקציות מתמטיות מוכרות.

מקרה פרטי: תנועה קבועה בציר X ותנועה משתנה בציר Y

נניח שמהירויות הטיל והמטרה קבועות בציר X, כך שבמידה ומתרחש יירוט הוא מתרחש כעבור זמן $t_{f}=L/(V_{X}-U_{X})$. את כל החישובים יש לבצע ביחס לזמן פגיעה צפוי $t_{f}$. נניח שמהירויות הטיל והמטרה בציר Y הם $V_{Y},U_{Y}$ בהתאמה. על מנת (פסקה זו לא נכונה כי היא מתעסקת במהירויות טיל ומטרה משתנות). נניח שהמרחק בציר Y והמטרה הוא Y. לפיכך בהנחה שהנרדף מפעיל תאוצה מירבית, נקבל שנדרשת תאוצה a מסוימת מהטיל בכיוון Y. אם מניחים שהקשר בין הנגזרת מסדר n לנגזרת מסדר n+1 של פונקציית הבקרה של המטרה הוא מהצורה $-u_{2,n}/t_{0}=u_{2,n+1}$ אז מקבלים שפונקציית הבקרה של המטרה היא: $u_{2}(t)=a_{2}*e^{-t/t_{0}}$.

פיתוח נוסף

נכתוב את אינדקס הביצועים של המערכת רודף-נרדף:

$J=C_{1}*{\frac {1}{2}}m^{2}+\int ({C_{p}*{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}(t)-C_{e}*{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}(t)})dt$.

הבקרות $u(t),v(t)$ האופטימליות צריכות לקיים שלפונקציונל $J(u(t),v(t))$ יש נקודת אוכף ב-$(u(t),v(t))$, כלומר שבקרת הרודף מביאה למינימום האפשרי את אינדקס הביצועים בעוד בקרת הנרדף מביאה למקסימום את אינדקס הביצועים. בנוסף, תחת הקירוב של סמיכות למסלול התנגשות, ניתן להניח כי כיוון קו הראייה כמעט ולא משתנה. לכן, תחת ההנחה של מרחק החטאה סופי 0, הוריאציות האינפיניטסימליות לגביהן יש לחשב את נקודת האוכף, צריכות לקיים:

$\int (du(t)cos\theta _{1}-dv(t)cos\theta _{2})(t_{f}-t)dt=0$

כאשר $\theta _{1},\theta _{2}$ הן הזוויות שיוצרים וקטורי מהירות הרודף והנרדף עם קו הראייה.

תחת ההנחה של מרחק החטאה סופי אפס, האיבר $\int ({C_{p}*{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}(t)-C_{e}*{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}(t)})dt$ צריך להיות בעל ערך מינימקס, כלומר שהוא מינימלי מבחינת הרודף אך מקסימלי מבחינת הנרדף - הנרדף צריך לתמרן כדי לגרום לרודף לבזבז אנרגיה. לפיכך צריך להתקיים:

$d(\int ({C_{p}*{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}(t)-C_{e}*{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}(t)})dt)/du=0,d(\int ({C_{p}*{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}(t)-C_{e}*{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}(t)})dt)/dv=0$, כאשר חישוב הנגזרת נתון לאילוץ שהוריאציה צריכה לקיים. לפיכך מתקיים:

$\int C_{p}u(t)dudt=0,\int C_{e}v(t)dvdt=0$.

פתרונות אפשריים $u(t),v(t)$ צריכים לקיים: $u(t)=C_{3}cos\theta _{1}(t_{f}-t)-v(t)cos\theta _{2},v(t)=-C_{2}cos\theta _{2}(t_{f}-t)$, כאשר לקראת הסוף מהירות הסגירה קבועה ולכן: $t_{f}-t=r/V_{C}$.

הרעיון מאחורי ניווט יחסי מתוקן עם קבוע ניווט גדול מ-3 הוא לשמור על המסלול ה-"נראה" (מסלול יחסי) נראה כאילו היה מדובר במטרה אינרציאלית שבה המסלול הוא כשל ניווט יחסי עם קבוע 3 - לשמור על קצב הסיבוב של קו הראייה כאילו היה מדובר בניווט יחסי אל מטרה אינרציאלית. כל שנותר כעת הוא למצוא את הקבועים $C_{3}$ ו-$C_{2}$. משיקולים של אינטראקציה בין מרחק ההחטאה לאנרגיה המושקעת מקבלים שהבקרות של הרודף והנרדף מקיימות: $u(t)=C_{1}V_{C}(t_{f}-t)cos\theta _{1}/C_{p},v(t)=C_{1}V_{C}(t_{f}-t)/C_{e}$, על כן $(C_{3}=(C_{1}/C_{p})V_{c},C_{2}=(C_{1}/C_{e})V_{c}$.

לכן נקבל:

$u(t)=C_{1}/C_{P}cos\theta _{1}(t_{f}-t)+C_{1}/C_{e}cos\theta _{2}(t_{f}-t)=$

ניווט יחסי כחוק הנחיה עם מאמץ בקרה מינימלי

נכתוב את קצב השינוי של מהירות ההתקרבות היחסית:

${\frac {dV_{r}}{dt}}=d(Vcos\theta _{1}-Ucos\theta _{2})/dt={\dot {\lambda }}*(-Vsin\theta _{1}+Usin\theta _{2})=r*({\dot {\lambda }})^{2}$(תוצאה זו תקפה לטיל שאינו מבצע פנייה).

עבור טיל מתמרן נקבל: $dV_{r}/dt=-r*({\dot {\lambda }})^{2}+ucos\theta _{1}$. (u בקרת הטיל).

לפיכך, מכיוון שאנו מעוניינים בפגיעה בהזדמנות הראשונה ולא בהחטאה ואז פגיעה, צריך למצוא וקטור מהירות התקרבות כפונקציה של הזמן שהינו תמיד חיובי שמביא את אינטגרל ריבוע הבקרה למינימום $F{u(t)}$ (פונקציונל הבקרה הוא אינטגרל ריבוע הבקרה) .

נגזור פעם נוספת לפי t (עבור מטרה לא מתמרנת) ונקבל:

$V_{r}*({\dot {\lambda }})^{2}+2r*({\dot {\lambda }})*ucos\theta _{1}/r=V_{r}*({\dot {\lambda }})^{2}+2ucos\theta _{1}({\dot {\lambda }})$.

במקום לנסות לכתוב את הבקרה כפונקציה של הזמן נכתוב את פונקציית מהירות ההתקרבות $V_{r}$ כפונקציה של המרחק r המביאה למינימום את מאצץ הבקרה הדרוש. מכיוון שנתון שהמטרה נעה בקו ישר מתקיים:

$({\sqrt {V^{2}-(V_{r}+Ucos\theta _{2})^{2}}}-Usin\theta _{2})/r={\dot {\lambda }}$

פיתוח נוסף:

נוכיח שניווט יחסי עם N = 3 דורש מאמץ בקרה מינימלי במקרה של מטרה נייחת. לשם כך נוכיח שעבור וריאציה מזערית בבקרה כפונקציה של הזמן המקיימת שתחתיה (תחת וריאציה זו) עדיין יש פגיעה במטרה נייחת שינוי אינטגרל הבקרה הוא אפס, וזאת עבור על המסלולים בעלי זמן מעוף סופי נתון. ברור שלשינויים קטנים בבקרה שמתרחשים בתחילת המסלול יש אפקט גדול יותר על הסטייה הסופית מהמטרה, באופן פרופורציונלי לזמן שנותר עד לסיום המסלול $t_{f}-t$. לפיכך האינטגרלים על רכיבי הבקרה בציר x וציר Y צריכים לקיים: $\int _{0}^{t_{f}}1/2du(t)sin(\theta (t)*(t_{f}-t)dt=0$.

כאשר $\theta =\theta _{0}-3\lambda (t)$ כש-$\lambda (t)$ היא זווית הרדיוס וקטור למטרה.

בנוסף, נגזרת אינטגרל הבקרה תחת וריאציה זו צריכה להיות שווה אפס:

$d\int 1/2(u(t))^{2}dt=0,\int u(t)dudt=0$

בנוסף ידוע ש-$u=C_{1}*{\sqrt {sin(\theta _{0}-2\lambda )}}$.

ערך: הנחיה אופטימלית

המונח חוקי הנחיה אופטימליים או חוקי הנחיה מודרניים בדרך כלל מתייחס לחוקים שמתבססים על תורת הבקרה (control theory) והאמידה (estimation theory) וטכנולוגיה מודרנית. הדיסצפלינה המדעית הענפה הזאת משלבת מגוון טכנולוגיות הקשורות קשר הדוק זו בזו - הבולטת ביותר שבהם, למטרת הנחית טילים - היא תורת הבקרה האופטימלית. זה מתבטא בכך שהעקרון המנחה בבחירת חוקי הנחיה אופטימליים הוא חלוקה מיטבית ויעילה של האנרגיה של הטיל (האנרגיה הנדרשת לביצוע תמרונים), דהיינו בחירת חוקי הנחיה הנגזרים מתורת הבקרה האופטימלית. תאוריה זו התחילה להתפתח בסביבות השנים 1959 - 1961 ועוררה עניין רב בקרב מהנדסי בקרה ותאורטיקנים, ועניין זה לא פסח על אלו שמתעניינים בהנחיה. הרעיון היסודי בתכנון בקרה אופטימלית למערכת הנחיה, הוא להצמיד אינדקס ביצועים (performance index), או פונקציונל מחיר (cost functional) מסוים לכל תרחיש רדיפה - התחמקות אפשרי, באופן שמשקלל את מרחק ההחטאה והאנרגיה ש-"נשחקת" ממקור האנרגיה של הטיל במהלך הוצאה לפועל של תהליך ההנחיה (לצורך מניעת בלבול, אין הכוונה לדלק של הטיל, אלא למקור אנרגיה הפנימי שמייצר את הכח הנדרש להסיט את משטחי הניהוג). המהות של בקרה אופטימלית היא לנסות ולהביא למינימום את פונקציונל המחיר. על פניו היעד נראה ברור ופשוט להבנה; יישום של כלל זה, הינו בעיה מורכבת.

רקע היסטורי

הפרסומים הראשונים על יישום תורת הבקרה לבעיות של הנחיה מתוארכים לשנים 1965 ו-1966, ומאז ועד היום פורסמו מאות מאמרים ומחקרים בנושא, שכעת נקרא "הנחיה אופטימלית". כפי שלעתים קרובות קורה בהתפתחויות מודרניות, התאוריה הקדימה את האמצעים הטכניים הנחוצים כדי ליישם אותה; בעיקר אלקטרוניקה מיניאטורית וטכניקות נומריות מסוימות. למעשה, בשנות ה-60 המאוחרות ושנות ה-70 המוקדמות, נתקבלה המסקנה שמיכון חוקי הנחיה מתקדמים המתבססים על תורת הבקרה האופטימלית אינו ישים לכלי נשק טקטיים קטנים. יתרה מכך, ההצלחה של כלי נשק מסורתיים, מבוססי אלקטרוניקה אנלוגית המיישמים את חוק הניווט היחסי במספר עימותים צבאיים הייתה גורם מעכב בהתפתחות היישום של חוקי הנחיה מתקדמים למערכות חדשות.

שינוי ביחס לנושא אירע בשנות ה-70 המאוחרות, כאשר הוערך שכלי הנשק המונחים שפותחו באותה תקופה עשויים להיות לא אפקטיביים נגד מטרות מוטסות של שנות ה-90 - מטוסים הפכו בהדרגה למהירים יותר ולעתירי כושר תמרון, ומערכות המכ"ם שלהם התפתחו למערכות מתוחכמות ביותר. בנוסף, על מרבית הקשיים הטכניים שהוזכרו לעיל התגברה הטכנולוגיה; טכניקות נומריות מתוחכמות פותחו כדי לפתור את המשוואות המורכבות המקושרות לתהליך ההנחיה, והמיקרו-מעבד המודרני כבר היה בשימוש. עם זאת ראוי לסייג את הדברים, החוק הסטנדרטי של ניווט יחסי, עם הפילוסופיה הבסיסית שהטיל צריך "להתאים" את תאוצתו לרוטציית קו הראייה, עדיין נותר בעל מעמד של חוק "מצוין" ואבן פינה בפיתוח חוקי הנחיה מיטביים.

היישום הטבעי לחוקי הנחיה מודרניים הוא, כפי שנראה אז, וכפי שנראה בבירור עוד יותר היום, בטילי אוויר אוויר ובמערכות הגנה אקטיביות מפני טילים. ההתפתחות של מערכות טילים נגד טילים בליסטיים הגבירו גם הם את העניין ביישום תאוריות מתורת הבקרה לטילאות מודרנית.

פרופיל דחף אופטימלי

ננסה למצוא כאן את פרופיל הדחף האופטימלי של רקטת האצה. ברור שמתקיים בין זמן 0 לאינסוף:

$\int C_{1}*{\sqrt {T}}dt=C_{2}$

כאשר T הוא הדחף, $C_{1}$ הוא קבוע פרופורציונליות, ו-$C_{2}$ הוא מסת הדלק שיש במיכל הדלק של הרקטה.

כמו כן מתקיימת המשוואה הדיפרנציאלית ${\dot {d}}otz(t)=T/M-g-C_{3}\rho (z){\dot {(}}z(t))^{2}$