משתמש:קראטון/ארגז חול

טור (מתמטיקה) - ניסיון לארגון מחדש

טורים סופיים וטורים אינסופיים

טורים סופיים הם פשוט דרך מקוצרת לרשום בה חיבור של אברים רבים. באופן כללי, הסימון המקוצר עבור הטור $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ הוא באמצעות האות היוונית סיגמה, בסימון זה: $\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ כאשר k הוא מספר טבעי הנקרא האינדקס של הסכום, והוא רץ מהערך התחילי שלו ועד n.

כאשר אין סוף למספר האיברים בטור, הטור הוא טור אינסופי. נהוג לסמן אותו כך: $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. גם בטור שכזה ניתן לדבר על הסכום של כל האיברים, אך לא תמיד. נסתכל ראשית בדוגמא נגדית:

נניח כי $1+2+4+8+...=A$ כאשר A מספר ממשי כלשהו. כעת נכפיל את הטור כולו ב-2 ונקבל: $2+4+8+...=2A$ ומכאן כי $2A=A-1$ וקיבלנו $A=-1$. זה כמובן לא הגיוני. מכאן שלא כל טור אינסופי בהכרח מתכנס למספר סופי.

כשאנו באים לבדוק התכנסות של טור, בצורה אינטואיטיבית, הרעיון הוא כזה: כשאנו מסכמים את אברי הטור, "נעצור ונבדוק" כל הזמן את הסכום שלנו עד עכשיו. אם נראה שהסכום "הולך ומתקרב" למספר סופי כלשהו, זה אומר שהטור מכנס, ואילו אם אנחנו רואים שהטור לא מתקרב לאף מספר (גדל/קטן כל הזמן, או "מתנדנד" בין כמה ערכים) הרי שהטור אינו מתכנס.

נגדיר בצורה פורמלית: יהי $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. נגדיר סכום חלקי מספר n בתור סכום n האיברים הראשונים של הטור, כלומר $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$. אם סדרת הסכומים החלקיים $\left\{S_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת למספר סופי, גם הטור מתכנס למספר זה.

ישנם מבחנים רבים שבאים להראות כי טור מתכנס, אולם הם אינם מבטיחים דרך לחישוב סכום הטור. אכן, חישוב סכום של טורים רבים הוא משימה קשה ביותר.

סוגי טורים

ישנם כמה סוגי טורים הראויים להתייחסות מיוחדת:

טור חשבוני

טור חשבוני הוא סכומה של סדרת איברים שהפרשים ביניהם קבועים. כאשר הטור הוא סופי, סכומו שווה למכפלת חצי מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון: $\sum _{k=1}^{n}a_{k}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$ (ראו בעניין זה אנקדוטה אודות קרל פרידריך גאוס).

טור חשבוני אינסופי אינו מתכנס (הוא מתבדר לאינסוף או למינוס אינסוף).

טור טלסקופי

טור טלסקופי הוא כינוי לכל טור שבו מצטמצמים כל האיברים למעט האיבר הראשון והאחרון, מה שמקל על חישוב סכומם. נסתכל למשל בטור הבא: ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+...+{\frac {1}{(n)\cdot (n+1)}}$

האיבר ה-k בטור הזה הוא ${\frac {1}{k\cdot (k+1)}}$. כעת נשים לב כי מתקיים:

${\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}={\frac {k+1-k}{k\cdot (k+1)}}={\frac {1}{k\cdot (k+1)}}$

ולכן נוכל לשכתב את הטור ולכתוב אותו כך:

$\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+...+\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=$

$={\frac {1}{1}}+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n-1}}+\left(-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {1}{n+1}}$

$={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{n+1}}$

טור גיאומטרי

טור גיאומטרי (או טור הנדסי) הוא סכומה של סדרת איברים שמנתם קבועה. למשל, הטור 1+2+4+8+16+... הוא טור של איברים שהראשון בהם הוא 1 ומנתם 2. סכומו של טור גיאומטרי סופי, כאשר q היא המנה, a האיבר הראשון ו-n מספר האיברים, הוא: $S_{n}=a{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$

נוכיח זאת:

נשים לב כי מתקיים $(q-1)(q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1)=q^{n}-1$ (זהו טור טלסקופי).

כעת, סכום של טור בן n איברים שאברו הראשון הוא a ומנתו q נתון בדיוק על ידי $S_{n}=a+aq+aq^{2}+...+aq^{n-1}$. לכן נקבל מהשוויון שהראינו קודם שמתקיים $(q-1)S_{n}=a(q^{n}-1)$ ומכאן $S_{n}=a{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$

טור גיאומטרי מתכנס כאשר היחס הקבוע בין איבריו גדול מאפס וקטן מאחד.

טור הרמוני

הטור ההרמוני, $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ אינו מתכנס.