משתמש:2Exciton/קו-וקטור

בתורת היחסות של איינשטיין ובתורת היחסות המורחבת מחלקים את הוקטורים לשני סוגים, וקטורים וקו-וקטורים.

החשיבות של החלוקה היא על מנת להשתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין, ובעקרון היחסות.

הגדרת 4-וקטור ו4-קו-וקטור

יהי $V$ מרחב וקטורי 4-מימדי ממשי או מרוכב ויהי $B={e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}}$ הבסיס הטבעי של V, כאשר: $e_{0}=(1,0,0,0),\;e_{1}=(0,1,0,0),\;e_{2}=(0,0,1,0),\;e_{3}=(0,0,0,1)$. עבור כל וקטור $x\in V$, ישנם סקלרים מתאימים $x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}$ המקיימים:

$$x=\sum _{\mu =0}^{3}x^{\mu }e_{\mu }$$

הסקלרים $x^{\mu }$ נקראים הקואורדינטות של $x$ בבסיס $B$, הקוארדינטות נכתבות באינדקס עליון. מטרתו של הסדר במיקום האינדקסים הינו על מנת להשתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין.

על פי הסכם זה, ניתן לפשט את הכתיבה של הוקטור $x$ להיות:

$$x=x^{\mu }e_{\mu }$$

4 קו-וקטור הוא מיפוי לינארי $f:V\rightarrow \mathbb {R}$. מיפוי לינארי נקבע על-ידי הערך שהוא מקבל עבור סט בסיסים 4-וקטורי כלשהו.

בהינתן מיפוי לינארי $f:V\rightarrow \mathbb {R}$, יהי $f_{\mu }=f(e_{\mu })$ כאשר $\mu =0,1,2,3$.

כאן אנחנו שמים אינדקס תחתון ב $f$ על מנת שיתאים לאינדקס התחתון שישנו ב $e$. הערך של $f$ עבור 4-וקטור שרירותי $x=x^{\mu }e_{\mu }$ יהיה:

$$f(x)=f(x^{\mu }e_{\mu })=x^{\mu }f(e_{\mu })=x^{\mu }f_{\mu }$$

$x^{\mu }f_{\mu }$ נקרא הקיפול של הקו-וקטור $f$ עם הוקטור $x$.

4-קו-וקטור במרחב מינקובסקי

ישנה דרך סטנדרטית ליצירת קו-וקטור מוקטור נתון.

לדוגמא, נתון 4-וקטור $a=(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3})$ במרחב מינקובסקי. נגדיר פונקציה $a^{*}:{\bar {M}}\rightarrow \mathbb {R}$ על ידי:

$$a^{*}(x)=a\cdot x=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }x^{\nu }$$

כאשר:

$$\eta _{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)$$

על מנת לחשב את הרכיבים $a_{\mu }$ של $a^{*}$, נפעיל את $a^{*}$ על הבסיס הטבעי $e_{\mu }$ ונקבל:

עבור $\mu =0$:

$$a_{0}=a^{*}(e_{0})=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }(e_{0})^{\nu }=a^{0}$$

עבור $\mu =i=1,2,3$:

$$a_{i}=a^{*}(e_{i})=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }(e_{i})^{\nu }=\eta _{\mu i}a^{\mu }=-a^{i}$$

לכן:

$$a_{\mu }=a^{*}(e_{\mu })=(a^{0},-a^{1},-a^{2},-a^{3})$$

ובנוסף מההגדרה של $a^{*}$ נקבל:

$$a^{*}(x)=a_{\nu }x^{\nu }=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }x^{\nu }$$

כלומר:

$$a_{\nu }=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }$$

מכאן אנחנו רואים ש- $\eta$ משמש להורדת אינדקסים במרחב מינקובסקי (מעבר מוקטורים לקו-וקטורים) ובאופן כללי ניתן לכתוב:

$$\eta _{\mu \nu }x^{\mu }y^{\nu }=x_{\nu }y^{\nu }=y_{\mu }x^{\mu }$$

קו-וקטור ועיקרון היחסות

על מנת לספק את עקרון היחסות נדרש שהקיפול $a_{\nu }x^{\nu }$ יהיה בעל אותו ערך עבור כל מערכות הייחוס האינרציאליות.

יהי $K$ ו-$K'$ שתי מערכות ייחוס אינרציאליות שרירותיות. יהי $\Lambda$ טרנספורמציית לורנץ כך ש $x'=\Lambda x$.

נדרוש אינווריאנטיות ביחס לטרנספורמציה של $a_{\nu }x^{\nu }$:

$$(a^{*}(x))'=a^{*}(x)$$

$$a_{\nu }'x'^{\nu }=a_{\nu }x^{\nu }$$

$$a_{\nu }'\Lambda x^{\nu }=a_{\nu }x^{\nu }$$

לכן נקבל:

$$a_{\nu }'=\Lambda ^{-1}a_{\nu }$$

כלומר, במעבר בין מערכות ייחוס אינרציאליות קו-וקטור עובר טרסנפורמציה הפוכה מוקטור.