בתורת היחסות של איינשטיין ובתורת היחסות המורחבת מחלקים את הוקטורים לשני סוגים, וקטורים וקו-וקטורים.
החשיבות של החלוקה היא על מנת להשתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין, ובעקרון היחסות.
הגדרת 4-וקטור ו4-קו-וקטור
עריכה
יהי מרחב וקטורי 4-מימדי ממשי או מרוכב ויהי הבסיס הטבעי(אנ') של V, כאשר: . עבור כל וקטור , ישנם סקלרים מתאימים המקיימים:
הסקלרים נקראים הקואורדינטות של בבסיס , הקוארדינטות נכתבות באינדקס עליון. מטרתו של הסדר במיקום האינדקסים הינו על מנת להשתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין.
על פי הסכם זה, ניתן לפשט את הכתיבה של הוקטור להיות:
4 קו-וקטור הוא מיפוי לינארי . מיפוי לינארי נקבע על-ידי הערך שהוא מקבל עבור סט בסיסים 4-וקטורי כלשהו.
בהינתן מיפוי לינארי , יהי כאשר .
כאן אנחנו שמים אינדקס תחתון ב על מנת שיתאים לאינדקס התחתון שישנו ב . הערך של עבור 4-וקטור שרירותי יהיה:
נקרא הקיפול(אנ') של הקו-וקטור עם הוקטור .
4-קו-וקטור במרחב מינקובסקי
עריכה
ישנה דרך סטנדרטית ליצירת קו-וקטור מוקטור נתון.
לדוגמא, נתון 4-וקטור במרחב מינקובסקי. נגדיר פונקציה על ידי:
כאשר:
על מנת לחשב את הרכיבים של , נפעיל את על הבסיס הטבעי ונקבל:
עבור :
עבור :
לכן:
ובנוסף מההגדרה של נקבל:
כלומר:
מכאן אנחנו רואים ש- משמש להורדת אינדקסים במרחב מינקובסקי (מעבר מוקטורים לקו-וקטורים) ובאופן כללי ניתן לכתוב:
קו-וקטור ועיקרון היחסות
עריכה