בחישוב גדלים גאומטריים (שטח או נפח), התוצאה תלויה ברדיוס R; בחישוב ממוצעים של פונקציות טריגונומטריות , גודל הרדיוס R אינו חשוב, ולכן אפשר לקחת אותו כ-R=1.
מספיק לחשב על פני רבע מעגל:
⟨
sin
(
θ
)
⟩
=
∫
0
π
2
sin
(
θ
)
d
θ
∫
0
π
2
d
θ
=
−
cos
(
θ
)
|
0
π
2
π
2
=
−
(
0
−
1
)
π
2
=
2
π
{\displaystyle \langle \sin(\theta )\rangle ={\frac {\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(\theta )d\theta }{\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta }}={\frac {-\cos(\theta )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {-(0-1)}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {2}{\pi }}}
ממוצע של סינוס בריבוע , בעיגול
עריכה
אפשר לחשב על פני רבע מעגל; נחשב על חצי מעגל:
⟨
sin
2
(
θ
)
⟩
=
∫
0
π
sin
2
(
θ
)
d
θ
π
=
1
π
⋅
[
θ
2
−
sin
(
2
θ
)
4
]
|
0
π
=
1
π
(
π
2
−
0
−
0
+
0
)
=
1
2
{\displaystyle \langle \sin ^{2}(\theta )\rangle ={\frac {\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(\theta )d\theta }{\pi }}={\frac {1}{\pi }}\cdot [{\frac {\theta }{2}}-{\frac {\sin(2\theta )}{4}}]|_{0}^{\pi }={\frac {1}{\pi }}({\frac {\pi }{2}}-0-0+0)={\frac {1}{2}}}
ממוצע של קוסינוס בריבוע, על כדור
עריכה
ככל ש-θ גדלה, כך יש "יותר קווים" של (cos(θ (לאורך היקף המעגל שרדיוסו (sin(θ), ומידת ה"יותר" היא בהתאם להיקף המעגל. ההיקף:
2
π
sin
(
θ
)
{\displaystyle 2\pi \sin(\theta )}
, ולכן לכל θ צריך לקחת את
c
o
s
2
(
θ
)
{\displaystyle cos^{2}(\theta )}
, להכפיל בהיקף המעגל, לסכם על כל ה-θ, ובסוף לחלק ב"מספר הכולל של קווים שלקחנו", שהוא: שטח פני כדור שרדיוסו R=1, או: S=4π.
מכיוון שמסכמים את כל האברים האלה על פני שינוי ב-θ, אז כל סכום הוא טור אינסופי מוכפל ב-Δθ; הממוצע המבוקש הוא מנת שניהם:
⟨
cos
2
(
θ
)
⟩
=
lim
n
→
∞
∑
i
=
1
n
cos
2
(
θ
i
)
sin
(
θ
i
)
Δ
θ
∑
i
=
1
n
2
π
sin
(
θ
i
)
Δ
θ
=
2
π
∫
0
π
cos
2
(
θ
)
sin
(
θ
)
d
θ
2
π
∫
0
π
sin
(
θ
)
d
θ
=
{\displaystyle \langle \cos ^{2}(\theta )\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{n}\cos ^{2}(\theta _{i})\sin(\theta _{i})\Delta \theta }{\sum _{i=1}^{n}2\pi \sin(\theta _{i})\Delta \theta }}={\frac {2\pi \int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )\sin(\theta )d\theta }{2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(\theta )d\theta }}=}
=
2
π
⋅
−
1
3
cos
3
(
θ
)
|
0
π
2
π
⋅
−
cos
(
θ
)
|
0
π
=
−
2
π
3
[
(
−
1
)
−
1
]
−
2
π
[
(
−
1
)
−
1
]
=
4
π
3
4
π
=
1
3
{\displaystyle ={\frac {2\pi \cdot -{\frac {1}{3}}\cos ^{3}(\theta )|_{0}^{\pi }}{2\pi \cdot -\cos(\theta )|_{0}^{\pi }}}={\frac {-{\frac {2\pi }{3}}[(-1)-1]}{-2\pi [(-1)-1]}}={\frac {\frac {4\pi }{3}}{4\pi }}={\frac {1}{3}}}
דרך אחרת:
d
(
cos
(
θ
)
)
=
−
d
h
=
−
1
⋅
d
θ
⋅
sin
(
θ
)
{\displaystyle d(\cos(\theta ))=-dh=-1\cdot d\theta \cdot \sin(\theta )}
⟨
cos
2
(
θ
)
⟩
=
|
∫
0
2
π
∫
0
π
cos
2
(
θ
)
d
(
cos
(
θ
)
)
d
ϕ
|
4
π
=
|
−
2
π
∫
0
π
cos
2
(
θ
)
sin
(
θ
)
d
θ
|
4
π
=
4
3
π
4
π
=
1
3
{\displaystyle \langle \cos ^{2}(\theta )\rangle ={\frac {|\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )d(\cos(\theta )\,)d\phi |}{4\pi }}={\frac {|-2\pi \int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )\sin(\theta )d\theta |}{4\pi }}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi }{4\pi }}={\frac {1}{3}}}
ממוצע של סינוס בריבוע, על כדור
עריכה
⟨
sin
2
(
θ
)
⟩
=
⟨
1
−
cos
2
(
θ
)
⟩
=
1
−
⟨
cos
2
(
θ
)
⟩
=
2
3
{\displaystyle \langle \sin ^{2}(\theta )\rangle =\langle 1-\cos ^{2}(\theta )\rangle =1-\langle \cos ^{2}(\theta )\rangle ={\frac {2}{3}}}