פונקציות טריגונומטריות

במתמטיקה, הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות של זווית. הן משמשות, בין השאר, לקשור בין הזוויות במשולש לאורכי צלעותיו. הפונקציות הטריגונומטריות המוכרות ביותר הן סינוס, קוסינוס וטנגנס. הפונקציות הטריגונומטריות חשובות במחקר המשולשים, במידול תופעות מחזוריות ובשימושים רבים נוספים. שני משפטים בסיסיים הנוגעים לפונקציות הטריגונומטריות הם משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים.

בראש התמונה מוצגת הפונקציה הטריגונומטרית סינוס (sin) עבור הזוויות θ, π − θ, π + θ ו-2π − θ בארבעת הרבעים של מעגל היחידה. בתחתית התמונה מוצג הגרף של פונקציית הסינוס, כשהזוויות מראש התמונה מודגשות

הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר-זווית

הפונקציות סינוס וקוסינוס על מערכת הצירים.

כאשר x היא זווית סמוכה ליתר במשולש ישר-זווית (x בין 0° ל-90° במעלות או בין 0 ל-π/2 ברדיאנים):

• סינוס של הזווית (sin x) מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית והיתר במשולש; בדוגמה המופיעה בתרשים

$\sin \angle A={\frac {a}{c}}$

• קוסינוס של הזווית (cos x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש; בדוגמה המופיעה בתרשים

$\cos \angle A={\frac {b}{c}}$

השם קוסינוס הוא קיצור של complement sines - סינוס הזווית המשלימה.

ההגדרות לעיל לא תקפות עבור הזווית 0 והזווית הישרה; עבור זוויות אלה מוגדרים ערכי הסינוס כ-0 ו-1 בהתאמה, וערכי הקוסינוס כ-1 ו-0 בהתאמה. ערכים אלה הם הגבולות של היחסים המתאימים. הגדרות אחרות של הפונקציות הטריגונומטריות (להלן) אינן דורשות טיפול מיוחד בזוויות אלה.

• טנגנס של הזווית (tg x או tan x) הוא היחס בין הניצב שמול הזווית והניצב שליד הזווית; בדוגמה המופיעה בתרשים

$\tan \angle A={\frac {a}{b}}$

הטנגנס מתקבל גם על ידי חלוקת סינוס בקוסינוס, וניתן להגדיר אותו לאורך כל הישר הממשי בעזרת ההגדרות המורחבות של פונקציות אלה (להלן). הטנגנס לא מוגדר עבור הזוויות 90°+k•180° (כש-k הוא מספר שלם), שכן הקוסינוס של זוויות אלה הוא 0.

בגאומטריה אנליטית, כאשר מייצגים ישר על ידי משוואה אפינית: y=mx+n, הקבוע m הוא טנגנס הזווית שבין הישר ובין כיוונו החיובי של ציר ה-X.

הפונקציות מקיימות $\sin \alpha =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)$ ו- $\cos \alpha =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)$ כאשר הזוויות נתונות ברדיאנים.

ממשפט פיתגורס נובע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה ל-1.

לכל אחת מפונקציות אלו מוגדרת גם פונקציה שערכה הוא ההופכי הכפלי של ערך הפונקציה:

• קוטנגנס של זווית (ctg x או cot x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית לבין הניצב הרחוק ממנה, כלומר ערכו הוא ההופכי של הטנגנס. הקוטנגנס שווה ליחס בין הקוסינוס של זווית לסינוס של אותה זווית. לכן, הוא לא מוגדר עבור כפולות שלמות של 180° (שהסינוס שלהן הוא 0).
• סקאנס של זווית (sec x) השווה ל-$\left(\cos x\right)^{-1}={\frac {1}{\cos x}}$ כלומר ערכו ההופכי של הקוסינוס.
• קוסקאנס של זווית (cosec x) השווה ל-$\left(\sin x\right)^{-1}={\frac {1}{\sin x}}$, כלומר ערכו ההופכי של הסינוס.

על ידי צמצום לתחום מתאים, הפונקציות הטריגונומטריות הופכות לפונקציות הפיכות. פונקציות טריגונומטריות הפוכות מסומנות: arcsin x או sin⁻¹(x)‎‏, arccos x או cos⁻¹(x)‎‏, arctan x או tan⁻¹(x)‎‏ וערכן היא הזווית שנותנת את היחס הטריגונומטרי x.

הטבלה הבאה מסכמת את הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות, הפונקציות ההפוכות ופונקציות הערך ההופכי שלהן. את פונקציית הקוסקנט רושמים לעיתים בצורה הארוכה יותר cosec במקום csc.

פונקציה		פונקציה הפוכה		הופכי של הפונקציה		הופכי של הפונקציה ההפוכה
סינוס	sin	arcsine	arcsin	cosecant	csc	arccosecant	arccsc
קוסינוס	cos	arccosine	arccos	secant	sec	arcsecant	arcsec
טנגנס	tan	arctangent	arctan	cotangent	cot	arccotangent	arccot

הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה

דוגמה לסינוס 30° על מעגל היחידה

מעגל היחידה הוא מעגל ברדיוס של יחידה אחת, שמציג באופן גרפי את הפונקציות הטריגונומטריות.

הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר-זווית, בהן $\ x\geq 90^{\circ }$ או $\ x\leq 0^{\circ }$, על ידי הגדרתן באמצעות הקואורדינטות של מעגל היחידה, שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית $\theta$ הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד כיוון השעון החל מקרן המספרים החיוביים בציר ה-X לאורך זווית $\theta$, וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 0⁰ ל-90⁰, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא תמיד 1. מסיבה זו, ערכם המוחלט חסום על ידי 1.

לסיכום:

• סינוס הוא ערך ה-Y של הנקודה
• קוסינוס הוא ערך ה-X של הנקודה
• טאנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (1,0) או היחס בין סינוס לקוסינוס
• קוטנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (0,1) או היחס בין קוסינוס לסינוס

מעגל היחידה מהווה שיטה נוחה לזכור את הסימן (+/-) של ערכי הפונקציות הטריגונומטריות.

קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות

ערך מורחב – קירוב זוויות קטנות

את טורי טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות אפשר למצוא בעזרת חישובי נגזרות, שהבסיס להם הוא הגבול של sin(x)/x. הטורים המתקבלים הם:

$\ \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-...\approx x$

ו-

$\ \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-...\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}$

(כל החישובים נעשים ברדיאנים). פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פונקציות אנליטיות. טורי טיילור שלהן מתכנסים אליהן במידה שווה על כל קבוצה קומפקטית בישר הממשי ובפרט בכל קטע סגור. הטורים לא מתכנסים במידה שווה על כל הישר בבת אחת.

כדי לקבל קירובים טובים לפונקציות צריך באופן כללי לחשב כמה שיותר איברים בטור. עם זאת, קצב התכנסות הטורים תלוי במרחק מהאפס - עבור נקודות הקרובות לאפס הטורים מתכנסים מאוד מהר וככל שמתרחקים ממנו הטורים מתכנסים יותר לאט. מהסיבה הזו נוח יותר להעריך את הפונקציות באמצעות טור טיילור עבור זוויות שקרובות יחסית לאפס, ולהשתמש ככל הניתן בזהויות טריגונומטריות כדי לקבל תוצאות עבור זוויות גדולות יותר. למשל, כדי לחשב את $\ \sin(80^{\circ })$ ניתן להשתמש בנוסחה $\ \sin(x)=\cos(90^{\circ }-x)$ ולחשב רק את $\ \cos(10^{\circ })$, וזווית זו קרובה יחסית לאפס.

קירוב מסדר ראשון ושני של פונקציות אלו נמצא בשימוש נרחב בניתוחים פיזיקליים שונים ונקרא קירוב זוויות קטנות.

הקשר לפונקציות מעריכיות והרחבה לערכים מרוכבים

פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית

$\ f''(x)=-f(x)$

פתרון של משוואה זו בשדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ הוא פונקציית האקספוננט של מספר מרוכב טהור. נוסחת אוילר מקשרת בין פונקציית האקספוננט המרוכב והפונקציות הטריגונומטריות:

$\ e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

מהזוגיות של הפונקציות הטריגונומטריות מקבלים $\ e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)$ ולכן:

$\ \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad ;\quad \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

הצגה זו של הפונקציות הטריגונומטריות מאפשרת לנו להרחיב את תחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלהן לשדה המספרים המרוכבים. בדרך זו מתקבלות פונקציות הולומורפיות במקרה של סינוס וקוסינוס ופונקציות מרומורפיות במקרה של טנגנס וקוטנגנס.

סינוס וקוסינוס של זוויות אי-רציונליות

מהצבה בפולינום צ'בישב נובע שהסינוס והקוסינוס של זווית (ברדיאנים) שהיא כפולה רציונלית של π הוא תמיד מספר אלגברי. עם זאת, הערך אינו יכול להיות מספר רציונלי, אלא אם הזווית היא כפולה של π/6.

ראו גם

• הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות
• זהויות טריגונומטריות
• נגזרות של פונקציות טריגונומטריות
• פונקציות היפרבוליות
• טור טיילור
• נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)
• טור פורייה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציות טריגונומטריות בוויקישיתוף

• פונקציות טריגונומטריות, באתר MathWorld (באנגלית)
• פונקציות טריגונומטריות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)