משתמש:Idanfr/תבנית ריבועית

תבנית ריבועית היא פונקציה לא לינארית. למושג התבנית הריבועית קשר הדוק למושג התבנית הבילינארית.

מבוא

(כאן יבוא מבוא)

הגדרה מתמטית

אם הפונקציה $\ B:V\times V\rightarrow F$ כאשר $\ V$ הוא מרחב וקטורי מעל שדה $\ F$ היא תבנית בילינארית אז הפונקציה $\ Q:V\rightarrow F$ המקיימת:

$\ Q(v)=B(v,v)$

היא תבנית ריבועית.

תבניות מסומכות ותבניות קוטביות

כאשר $\ B$ היא תבנית בילינארית ו-$\ Q$ היא תבנית ריבועית ומתקיים:

$\ Q(v)=B(v,v)$

לתבנית Q קוראים גם התבנית הריבועית המסומכת ל-B ולתבנית B קוראים גם התבנית הבילינארית הקוטבית ל-Q.

לכל תבנית בילינארית יש רק תבנית ריבועית מסומכת אחת, לעומת זאת לתבנית ריבועית יש כמה תבניות בילינאריות מסומכות. לרוב מקובל לדבר על התבנית הבילינארית המסומכת כאשר הכוונה היא לתבנית הבילינארית המסומכת הסימטרית של התבנית הרבועית (כזאת יש רק אחת).

דוגמה

אם $\ v=(v_{1},v_{2}),u=(u_{1},u_{2})$ הם ווקטורים ו-$\ B$ היא התבנית הבילינארית:

$\ B_{1}(v,u)=2v_{1}u_{1}+v_{2}u_{1}$

אז התבנית הריבועית המסומכת לה היא:

$\ Q(v)=B_{1}(v,v)=2v_{1}^{2}+v_{1}v_{2}$

כאשר מדברים על התבנית הבילינארית הקוטבית של $\ Q$ מתכוונים לתבנית הבילינארית:

$\ B_{2}(v,u)=2v_{1}u_{1}+0.5v_{1}u_{2}+0.5v_{2}u_{1}$

תבנית זו היא סימטרית (כלומר מקיימת $\ B_{2}(v,u)=B_{2}(u,v)$) וכן מתקיים $\ Q(v)=B_{2}(v,v)$.