משתמש:Shaitibber/פרבולואיד

פרבולואיד הוא משטח ריבועי שיש לו נקודה קריטית אחת. ישנם שני סוגי פרבולואידים - פרבולואיד היפרבולי ופרבולואיד אליפטי.

פרבולואיד אליפטי

פרבולואיד אליפטי

פרבולואיד אליפטי הוא צורה שנראית כמו קערה אובלית שיש לה נקודת מקסימום או מינימום. הוא מוגדר להיות אוסף הפתרונות למשוואה:

${\tilde {z}}={\frac {{\tilde {x}}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{\tilde {y}}^{2}}{b^{2}}}$

כאשר הקבוצה $\{{\tilde {x}},{\tilde {y}},{\tilde {z}}\}$ מהווה בסיס אורתונורמלי למרחב.

מקרה פרטי נפוץ הוא של פרבולואיד אליפטי בקואורדינטות קרטזיות כאשר ציר הסימטריה שלו הוא ציר ה-z והוא נתון על ידי המשוואה:

$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

תכונות

• כאשר $a=b$ הפרבולואיד שמתקבל הוא משטח סיבוב של פרבולה שסובבה סביב ציר הסימטריה שלה.
• אם נחתוך את הפרבולואיד במקביל למישור ${\tilde {y}}$-${\tilde {x}}$ (המישור ${\tilde {z}}=c$) נקבל קבוצה ריקה (אם החיתוך מתבצע מעל לנקודת מקסימום או מתחת לנקודת מינימום) או אליפסה שמשוואתה היא

$\ \left({\frac {\tilde {x}}{\sqrt {c/a}}}\right)^{2}+\left({\frac {\tilde {y}}{\sqrt {c/b}}}\right)^{2}=1$

פרבולואיד היפרבולי

פרבולואיד היפרבולי הוא צורה שדומה לפרינגלס בסביבת הנקודה הקריטית שלה שהיא נקודת אוכף. פרבולואיד זה מתואר ע"י אוסף הפתרונות למשוואה:

${\tilde {z}}={\frac {{\tilde {y}}^{2}}{a^{2}}}-{\frac {{\tilde {x}}^{2}}{b^{2}}}$

תכונות

• אם נחתוך את הפרבולואיד ההיפרבולי במקביל למישור... נקבל היפרבולה.