סדרת לוקאס

במתמטיקה, סדרת לוקאס (על שם המתמטיקאי הצרפתי אדואר לוקאס) היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה $a_{n+2}=P\cdot a_{n+1}-Q\cdot a_{n}$, כאשר $P,Q$ קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל.

לדוגמה: $1,3,4,7,11,18,29,\ldots$

הגדרה פורמלית

לאחר בחירת הקבועים $P,Q$, סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה $L_{n}=PL_{n-1}-QL_{n-2}$, ותנאי ההתחלה הקובעים את $L_{0},L_{1}$. בפרט:

• סדרת לוקאס עם $U_{0}(P,Q)=0,U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n}=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q)$ נקראת סדרת לוקאס מהסוג הראשון.
• סדרת לוקאס עם $V_{0}(P,Q)=2,V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n}=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q)$ נקראת סדרת לוקאס מהסוג השני.

למשל:

• $U_{n}(1,-1)$ היא סדרת פיבונאצ'י. $V_{n}(1,-1)$ הם מספרי לוקאס.
• $U_{n}(2,-1)$ היא סדרת פל. $V_{n}(2,-1)$ היא סדרת פל-לוקאס.
• $U_{n}(3,2)$ הם מספרי מרסן.
• $U_{n}(6,8)=2^{n-1}(2^{n}-1)$ היא סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.

נוסחה מפורשת

את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות:

${\begin{bmatrix}L_{n}\\L_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P&Q\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}L_{n-1}\\L_{n-2}\end{bmatrix}}$

לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האיבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא $x^{2}-Px+Q=0$. נסמן את הדיסקרימיננטה $D=P^{2}-4Q$, לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:

$a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}},\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}$

ולכן אם שני השורשים שונים אזי

${\begin{aligned}U_{n}&={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}\\V_{n}&=a^{n}+b^{n}\end{aligned}}$

ואם שני השורשים זהים אזי $U_{n}=nS^{n-1},V_{n}=2S^{n}$ כאשר מתקיים $S={\sqrt {Q}}={\frac {P}{2}}$.

זהויות

סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.

$F_{n}=U_{n}(1,-1),L_{n}=V_{n}(1,-1)$

זהות כללית	מקרה פרטי
$(P^{2}-4Q)U_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n}$	$5F_{n}=L_{n+1}+L_{n-1}=2L_{n+1}-L_{n}$
$V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}$	$L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=2F_{n+1}-F_{n}$
$U_{2n}=U_{n}V_{n}$	$F_{2n}=F_{n}L_{n}$
$V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}$	$L_{2n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}$
$U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}$	$F_{n+m}=F_{n}F_{m+1}+F_{m}F_{n-1}={\frac {F_{n}L_{m}+F_{m}L_{n}}{2}}$
$V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}$	$L_{n+m}=L_{n}L_{m}-(-1)^{m}L_{n-m}$

קישורים חיצוניים

• סדרת לוקאס, באתר MathWorld (באנגלית)