פונקציות ברילואן ולנז'וון
פונקציות ברילואן ולנז'וון הן זוג פונקציות מיוחדות [דרושה הבהרה] המשמשות לחקר חומר פאראמגנטי אידיאלי במכניקה סטטיסטית.
פונקציית ברילואן
עריכהפונקציית ברילואן (על שמו של לאון ברילואן)[1][2] היא פונקציה מיוחדת המוגדרת על ידי המשוואה הבאה:
הפונקציה מיושמת בדרך כלל (ראה להלן) בהקשר שבו x הוא משתנה ממשי ו-J הוא מספר חיובי שלם או חצי-שלם. במקרה זה, הפונקציה משתנה מ-1 עד 1, מתקרבת ל-1 כאשר ול-1- כאשר .
הפונקציה ידועה בעיקר בשל השימוש שנעשה בה לצורך חישוב המגנוט של פאראמגנט אידיאלי. ליתר פירוט, היא מתארת את התלות של המגנטיזציה M בשדה המגנטי B ובתנע הזוויתי הקוונטי הכולל J של המומנטים המגנטיים המיקרוסקופיים של החומר. המגנטיזציה ניתנת על ידי:[1]
כאשר:
- הוא מספר האטומים ליחידת נפח.
- הוא פקטור g.
- הוא מגנטון בוהר.
- הוא היחס בין אנרגיית זימן של המומנט המגנטי בשדה החיצוני לבין האנרגיה התרמית :
- הוא קבוע בולצמן ו- היא הטמפרטורה.
במערכת היחידות SI, השדה המגנטי נמדד ביחידות טסלה ו- כאשר הוא השדה המגנטי בריק הנמדד ביחידות A/m ו- הוא קבוע הפרמאביליות בריק.
פונקציית לנז'ווין
עריכהבגבול הקלאסי, כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי, והתנע הזוויתי . אזי, ניתן לפשט את פונקציית ברילואן לפונקציית לנז'וון, (על שמו של פול לנז'וון):
עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון על ידי חיתוך טור טיילור:[3]
חלופה טובה יותרכאש לקירוב עבור פונקציית לנז'וון ניתן לקבל מהצגת כשבר משולב על פי למברט:
פונקציית לנז'וון ההפוכה , מוגדרת במרווח הפתוח (1, 1-).עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון ההפוכה על ידי חיתוך טור טיילור:[3]
גבול טמפרטורה גבוהה
עריכהכאשר , כלומר, כאשר קטן מאוד - בגבול טמפרטורה גבוהה, ערך המגנטיזציה ניתן לקירוב על ידי חוק קירי:
כאשר, הוא קבוע ומגנטון בוהר האפקטיבי הוא .
גבול שדה רחוק
עריכהכאשר פונקציית ברילואן שואפת ל-1. אזי, המגנטיזציה מגיעה לרוויה כאשר כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי:
קישורים חיצוניים
עריכההערות שוליים
עריכה- ^ 1 2 C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Edition, .John Wiley & Sons, Inc, 2004, עמ' 303-304, ISBN 978-0-471-41526-8
- ^ .Darby, M.I, "Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization", Brit. J. Appl. Phys. 18, 1967, עמ' 1415–1417
- ^ 1 2 Johal, A. S.; Dunstan, D. J., "Energy functions for rubber from microscopic potentials", Journal of Applied Physics 101, 2007