פונקציות ברילואן ולנז'וון

פונקציות ברילואן ולנז'וון הן זוג פונקציות מיוחדות ^{[דרושה הבהרה]} המשמשות לחקר חומר פאראמגנטי אידיאלי במכניקה סטטיסטית.

פונקציית ברילואן

פונקציית ברילואן (על שמו של לאון ברילואן) היא פונקציה מיוחדת המוגדרת על ידי המשוואה הבאה:

$B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)$

הפונקציה מיושמת בדרך כלל (ראה להלן) בהקשר שבו x הוא משתנה ממשי ו-J הוא מספר חיובי שלם או חצי-שלם. במקרה זה, הפונקציה משתנה מ-1 עד 1, מתקרבת ל-1 כאשר $x\to +\infty$ ול-1- כאשר $x\to -\infty$.

הפונקציה ידועה בעיקר בשל השימוש שנעשה בה לצורך חישוב המגנוט של פאראמגנט אידיאלי. ליתר פירוט, היא מתארת את התלות של המגנטיזציה M בשדה המגנטי B ובתנע הזוויתי הקוונטי הכולל J של המומנטים המגנטיים המיקרוסקופיים של החומר. המגנטיזציה ניתנת על ידי:

$M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)$

כאשר:

• $N$ הוא מספר האטומים ליחידת נפח.
• $g$ הוא פקטור g.
• $\mu _{B}$ הוא מגנטון בוהר.
• $x$ הוא היחס בין אנרגיית זימן של המומנט המגנטי בשדה החיצוני לבין האנרגיה התרמית $k_{B}T$:

$x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}$

• $k_{B}$ הוא קבוע בולצמן ו-$T$ היא הטמפרטורה.

במערכת היחידות SI, השדה המגנטי $B$נמדד ביחידות טסלה ו-$B=\mu _{0}H$ כאשר $H$ הוא השדה המגנטי בריק הנמדד ביחידות A/m ו-$\mu _{0}$ הוא קבוע הפרמאביליות בריק.

פונקציית לנז'ווין

בגבול הקלאסי, כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי, והתנע הזוויתי $J\to +\infty$. אזי, ניתן לפשט את פונקציית ברילואן לפונקציית לנז'וון, (על שמו של פול לנז'וון):

$L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}$

עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון על ידי חיתוך טור טיילור:

$L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots$

חלופה טובה יותרכאש לקירוב עבור פונקציית לנז'וון ניתן לקבל מהצגת $\tanh(x)$ כשבר משולב על פי למברט:

$L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}$

פונקציית לנז'וון ההפוכה $L^{-1}(x)$, מוגדרת במרווח הפתוח (1, 1-).עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון ההפוכה על ידי חיתוך טור טיילור:

$L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots$

גבול טמפרטורה גבוהה

כאשר $x\ll 1$, כלומר, כאשר $\mu _{B}B/k_{B}T$ קטן מאוד - בגבול טמפרטורה $T$ גבוהה, ערך המגנטיזציה ניתן לקירוב על ידי חוק קירי:

$M=C\cdot {\frac {B}{T}}$

כאשר, $C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}$ הוא קבוע ומגנטון בוהר האפקטיבי הוא $g{\sqrt {J(J+1)}}\mu _{B}$.

גבול שדה רחוק

כאשר $x\to +\infty$ פונקציית ברילואן שואפת ל-1. אזי, המגנטיזציה מגיעה לרוויה כאשר כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי:

$M=Ng\mu _{B}J$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציות ברילואן ולנז'וון בוויקישיתוף