פונקציית קסי של רימן

במתמטיקה, פונקציית קסי של רימן (מסומנת באות $\xi$) היא פונקציה מרוכבת אשר קשורה לפונקציית זטא של רימן ומוגדרת על ידי משוואה פונקציונלית על בסיס פונקציית גמא ופונקציית זטא של רימן. הפונקציה נקראת על שם ברנהרד רימן.

פונקציית קסי של רימן במישור המרוכב.

הגדרת הפונקציה

ההגדרה המקורית של פונקציית קסי של רימן השתנת על ידי אדמונד לנדאו, וכיום מסומנת על ידי קסי גדולה ($\Xi$). הפונקציה של לנדאו מוגדרת על ידי:

$\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)$

עבור $s\in \mathbb {C}$, כאשר $\Gamma$ היא פונקציית גמא ו-$\zeta$ היא פונקציית זטא של רימן. ניתן לראות על פי ההגדרה של הפונקציה כי

$\xi (1-s)=\xi (s)$.

ההגדרה של פונקציית $\Xi$ על פי לנדאו (אשר הייתה הפונקציה המקורית של רימן) היא:

$\Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)$

אשר מאופיינת על ידי המשוואה הפונקציונלית הבאה:

$\Xi (-z)=\Xi (z)$.

מאפייני הפונקציה

• $\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!$

כאשר $B_{n}$ מציין את מספר ברנולי ה-$n$-י'. אפשר לראות כי $\xi (2)={\pi \over 6}$.

• ${\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}$

כאשר

• $\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]$

כאשר ρ מוגדרת להיות השורשים הלא-טריוויאליים של פונקציית זטא של רימן. הטור למעלה חשוב מאוד לקריטריון לי, אשר אומר שהשערת רימן שקולה לכך ש-$\lambda _{n}>0$ לכל $n$ חיובי.

• $\Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {s}{\alpha }}\right)$

כאשר $\alpha$ מוגדרת להיות השורשים של $\xi$.

קישורים חיצוניים

• פונקציית קסי של רימן, באתר MathWorld (באנגלית)