פונקציית קסי של רימן

במתמטיקה, פונקציית קסי של רימן (מסומנת באות $\xi$) היא וואריאנט של פונקציית זטא של רימן המקיימת משוואה פונקציונלית פשוטה. הפונקציה נקראת על שם ברנהרד רימן.

פונקציית קסי של רימן במישור המרוכב.

הגדרת הפונקציה

בעקבות אדמונד לנדאו, פונקציית קסי מוגדרת על ידי:

$\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)$

עבור $s\in \mathbb {C}$, כאשר $\Gamma$ היא פונקציית גמא ו-$\zeta$ היא פונקציית זטא של רימן. לפי הגדרה זו,

$\xi (1-s)=\xi (s)$.

ההגדרה המקורית, שכיום מסומנת ב-$\Xi$, היא:

$\Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)$

ומקיימת את המשוואה הפונקציונלית

$\Xi (-z)=\Xi (z)$.

מאפייני הפונקציה

• $\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!$

כאשר $B_{n}$ מציין את מספר ברנולי ה-$n$-י'. אפשר לראות כי $\xi (2)={\pi \over 6}$.

• ${\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}$

כאשר

• $\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]$

כאשר ρ מוגדרת להיות השורשים הלא-טריוויאליים של פונקציית זטא של רימן. הטור למעלה חשוב מאוד לקריטריון לי, אשר אומר שהשערת רימן שקולה לכך ש-$\lambda _{n}>0$ לכל $n$ חיובי.

• $\Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {s}{\alpha }}\right)$

כאשר $\alpha$ מוגדרת להיות השורשים של $\xi$.

קישורים חיצוניים

• פונקציית קסי של רימן, באתר MathWorld (באנגלית)