פורטל:שחמט/חידה-בעיה/8

< פורטל:שחמט‏ | חידה-בעיה

א) כמה מלכים ניתן להציב על לוח בלי שהם יאיימו זה על זה?

ב) מהו המספר המינימלי של מלכים שיש להציב כך שכל הלוח יהיה מאוים? (משבצת שעליה מונח מלך נחשבת מאוימת)

ג) הכלל פתרונות אלה ללוח nxn.

פתרון

א) ניתן לחלק את הלוח ל-16 ריבועים 2x2 ולהציב בכל אחד מהם מלך. לא ניתן לשפר, כיוון שבין שני מלכים מוכרח להיות רווח של לפחות משבצת אחת.

8
7
6
5
4
3
2
1
	א	ב	ג	ד	ה	ו	ז	ח

ב) ניתן לחלק את הלוח ל-9 ריבועים 3x3 ולהציב במרכזו של כל אחד מהם מלך. לא ניתן לשפר, כיוון שאין למלך שליטה מעבר לריבוע זה.

8
7
6
5
4
3
2
1
	א	ב	ג	ד	ה	ו	ז	ח

ג) (1) אם n מתחלק ב-2, אז מספר הריבועים 2x2 (וגם הפתרון) הוא ${\frac {n^{2}}{4}}$ . אם לא, אז יש להוסיף מלבנים 2x1 וריבוע 1x1 באופן שמתקבלים ${\frac {(n+1)^{2}}{4}}$ . ניתן לרשום את שתי התוצאות ביחד: $\lfloor {\frac {n+1}{2}}\rfloor ^{2}$ כאשר $\lfloor x\rfloor$ הוא הערך השלם של x.

(2) אם n מתחלק ב-3, מספר הריבועים יהיה ${\frac {n^{2}}{9}}$ . אם הוא נותן שארית 1, יש להוסיף מסביב מלבנים 2x3 ובפינות ריבועים 2x2 ומתקבל ${\frac {(n+2)^{2}}{9}}$ . אם נותן שארית 2, יש להוסיף מלבנים 2x3 משני צדדים וריבוע 2x2 בפינה באופן שמתקבל ${\frac {(n+1)^{2}}{9}}$ . ניתן לרשום את שלוש התוצאות ביחד: $\lfloor {\frac {n+2}{3}}\rfloor ^{2}$

אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=פורטל:שחמט/חידה-בעיה/8&oldid=16171706"