פעולת בסיס

במתמטיקה, פעולת בסיס היא רכיב עבור "מרחב פעולות", אשר מוגדר כאוסף של פעולות בו כל פעולה היא שילוב ליניארי של פעולות בסיס.^[1]

סט בסיס

אוסף של פעולות בסיס שיכולים להיות מצורפים במגוון דרכים כדי לייצג כל פעולה שנמצאת בסט הזה.^[2]

סוגים של פעולות בסיס

נסמן פעולת בסיס באות היוונית "פי" Φ.

גרף פולינומי בדרגה 3

פולינום:

ϕ_j (x_i,j)=x_i,j^j

גרף של הפונקציה ההיברידית

f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.

פונקציית גאוס:

ϕ_j (x_i,j)=e^{(x_i,j^j - μ_j²)/2σ²}

כאשר:

μ- מתאר מיקום

σ² - מתאר רוחב

סיגמואיד:

ϕ_j (x_i,j)=σ((x_i,j-μ_j)/s)

פונקציה מחזורית:

f(x)=f(x+nk),kϵN

פונקציה היברידית:

פונקציה שהתחום שלה מחולק למספר אינטרוולים שבכל אחד מהם הפונקציה מוגדרת אחרת.

לדוגמה:

$f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

דוגמאות

i, j, k הם הסט בסיס של המערכת צירים קרטזית, כלומר עם שלושתם ביחד אפשר לייצג בעזרת צירופים ליניאריים שלהם כל וקטור במערכת.

כאשר:

i =(1,0,0)

j =(0,1,0)

k =(0,0,1)

sin(x), cos(x) הם פעולות בסיס מסוג פונקציה מחזורית, שילובים ליניאריים שלהם מגדיר סט בסיס - למשל טור פורייה.

סט בסיס במכניקה קוונטית

שימוש פופולרי בסט בסיס הוא במכניקה קוונטית, בה מתארים את פונקציית הגל בשיטות שונות כמו שיטת הרטרי-פוק או תורת פונקציונל הצפיפות על מנת להפוך את המשוואות דיפרנציאליות חלקיות של השיטות למשוואות אלגבריות שיתאימו למחשב לפתור. סט הבסיס במכניקה קוונטית הוא סט של מצבים שמתארים את המרחב הילברט שמתאים למערכת. בוחרים את סט הבסיס לפי תכונות וסימטריית המערכת. מערכת שמשתמשים בה הרבה היא סט בסיס של אורביטל מולקולרי.^[3]^[4]

פעולות הבסיס שמרכיבות את הסט בסיס הם פעולות של חלקיק אחד - אורביטל אטומי למשל. את פעולות הבסיס בוחרים לפי סט הבסיס שרוצים להגיע אליו.

סטים של פעולות בסיס במכניקה קוונטית

אורביטלים מסוג סלייטר (STO’s – Slater Type Orbitals) - הפתרונות של משוואת שרדינגר באטומים מימניים, סט בסיס זה הוא המיושן יותר מהאפשרויות, הוא יותר מדויק אך לוקח הרבה מאוד זמן לחשבו.

ϕ_abc^STO (x,y,z)=Nx^a y^b z^c e^-ζr

כאשר:

N - קבוע הנורמליזציה

a,b,c - שולטים על המומנטום הזוויתי: L=a+b+c

ζ - שולטת ברוחב האורביטל

r - המרחק הרדיאלי מגרעין האטום

אורביטלים מסוג גאוס (GTO’s – Gaussian Type Orbitals) - פחות מדויקים מאורביטלים מסוג סלייטר אך לוקח הרבה פחות זמן לחשבם.

ϕ_abc^GTO (x,y,z)=Nx^a y^b z^c e^-ζr2

ניתן לעשות קירוב ליניארי של אורביטלים מסוג סלייטר בעזרת אורביטלים מסוג גאוס (מסומן ב-CGTO-Contracted Gaussian Type Orbitals או ב-STO-CG-Slater Type Orbitals-Contracted Gaussians), קירוב זה הוא הפשרה בין השניים - מדויק מספיק ולא לוקח הרבה זמן לחישוב.

ככל שמשתמשים ביותר GTO’s לקירוב כך הדיוק יותר טוב.^[5]

ϕ_abc^CGTO (x,y,z)=N∑_i=1ⁿ c_ix^a y^b z^c e^{-ζ_i r²}

סוגים של סט בסיס במכניקה קוונטית

מינימלי: פעולת בסיס אחת לכל אורביטל באטום.
זיטה כפול: שתי פעולות בסיס לכל אורביטל באטום.
זיטה משולש: שלוש פעולות בסיס לכל אורביטל באטום.

וכך הלאה, נסמן את הסוג לפי מספר הזיטה (QZ), למשל, לזיטה מחומשת-5Z. ^[6]

הערות שוליים

^ William H.Press et al, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press
^ Attila Szaba, Neil S.Ostlund, Introduction to Advanced Electronic Structure Theory
^ J. M. (Joseph Marie) Thijssen, Computational physics, Cambridge, UK ; New York : Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-83346-2
^ Andrés Reyes, Félix Moncada, Jorge Charry, The any particle molecular orbital approach: A short review of the theory and applications, International Journal of Quantum Chemistry 119, 2019-01-15 doi: 10.1002/qua.25705
^ Susi Lehtola, A review on non‐relativistic, fully numerical electronic structure calculations on atoms and diatomic molecules, International Journal of Quantum Chemistry 119, 2019-10-05 doi: 10.1002/qua.25968
^ Davidson, Ernest; Feller, David (1986). "Basis set selection for molecular calculations". Chem. Rev. 86 (4): 681–696. doi:10.1021/cr00074a002.

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "פעולת בסיס".

[1] William H.Press et al, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press

[2] Attila Szaba, Neil S.Ostlund, Introduction to Advanced Electronic Structure Theory

[3] J. M. (Joseph Marie) Thijssen, Computational physics, Cambridge, UK ; New York : Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-83346-2

[4] Andrés Reyes, Félix Moncada, Jorge Charry, The any particle molecular orbital approach: A short review of the theory and applications, International Journal of Quantum Chemistry 119, 2019-01-15 doi: 10.1002/qua.25705

[5] Susi Lehtola, A review on non‐relativistic, fully numerical electronic structure calculations on atoms and diatomic molecules, International Journal of Quantum Chemistry 119, 2019-10-05 doi: 10.1002/qua.25968

[6] Davidson, Ernest; Feller, David (1986). "Basis set selection for molecular calculations". Chem. Rev. 86 (4): 681–696. doi:10.1021/cr00074a002.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]