סיגמואיד (מתמטיקה)

פונקציית סיגמואיד היא פונקציה מתמטית, בעלת עקומה בצורת האות "S" הנקראת גם עקומת סיגמואיד. לעיתים קרובות "פונקציית סיגמואיד" מתייחסת למקרה פרטי של הפונקציה הלוגיסטית, כפי שניתן לראות באיור 2, ומתוארת על ידי הנוסחה הבאה:

איור 1: השוואה של מספר פונקציות סיגמואיד. באיור כל הפונקציות מנורמלות בצורה כזו שהראשית שלהן ב-(0,0) והטווח שלהם הוא הקטע [1+,1-].

איור 2: עקומה לוגיסטית

איור 3: פונקציית השגיאה

$S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}$.

פונקציות סיגמואיד מוגדרות על המספרים הממשיים, והן עולות מונוטונית.

הגדרה

פונקציית סיגמואיד היא פונקציה ממשית $S:\mathbb {R} \to [a,b]\subsetneq \mathbb {R}$, דיפרנציאבילית חסומה המוגדרת על כל המספרים הממשיים ובעלת נגזרת אי-שלילית בכל נקודה.

דוגמאות

• הפונקציה הלוגיסטית

$f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}$

• פונקציית tanh

$f(x)=\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

• פונקציית arctan

$f(x)=\arctan x$

• פונקציית גודרמן

$f(x)=\operatorname {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\cosh t}}\,dt$

• פונקציית השגיאה

$f(x)=\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

• פונקציה לוגיסטית מוכללת

$f(x)=(1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0$

• פונקציות אלגבריות מסוימות

$f(x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$.

• פונקציית השברון לוג'יט.

שימושים

פונקציות סיגמואיד, ובפרט הפונקציה הלוגיסטית, משמשת ברשתות עצביות מלאכותיות.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא סיגמואיד בוויקישיתוף

• סיגמואיד, באתר MathWorld (באנגלית)