קואורדינטות בריצנטריות

במתמטיקה, מערכת של קואורדינטות בָּרִיצֶנְטְרִיוֹת היא מערכת קואורדינטות שבה מתואר מקומה של נקודה ביחס לקודקודי סימפלקס מסוים (למשל משולש). בקואורדינטות אלה השתמש לראשונה אוגוסט פרדיננד מביוס.

דוגמה למערכת קואורדינטות בריצנטריות במשולש שווה-צלעות

במקרה הפשוט, בהינתן משולש $\triangle ABC$, ניתן להביע כל נקודה P על ידי $P={{{\lambda }_{1}A+{\lambda }_{2}B+{\lambda }_{3}C} \over {{\lambda }_{1}+{\lambda }_{2}+{\lambda }_{3}}}$ עבור ${\lambda }_{1},{\lambda }_{2},{\lambda }_{3}$ סקלרים כלשהם, כאשר מתייחסים לנקודות A,‏ B ו-C כווקטורים. הנקודה תלויה בווקטור הקואורדינטות $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ רק עד כדי כפל בסקלר, ולכן מקובל להניח ${\lambda }_{1}+{\lambda }_{2}+{\lambda }_{3}=1$. הנקודה P נמצאת בתוך המשולש אם ורק אם כל המקדמים חיוביים.

הנקודה P שהקורדינאטות שלה הן $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ היא מרכז המסה של המערכת, אם לנקודות A,B,C יש מסות של $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$.

בנןסף, אם אחת מהקואורדינטות $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ שווה לאפס, הנקודה ${\mathbf {P}}$ תתכנס לקומבינציה אפינית של שתי הנקודות האחרות,לדוגמא $\lambda _{1}=0,\lambda _{2}\neq 0,\lambda _{3}\neq 0$ יגרור $P=\alpha B+\beta C$

המקרה הכללי

באופן כללי עבור קודקודי סימפלקס $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ במרחב אפיני A ונקודה $\mathbf {p}$ ב-A, אם קיימים מקדמים $a_{1},\ldots ,a_{n}$ שאינם כולם אפסים כך שמתקיים

$(a_{1}+\cdots +a_{n})\mathbf {p} =a_{1}\,\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{n}\,\mathbf {x} _{n}$

אז אומרים שהמקדמים הם קואורדינטות בריצנטריות של $\mathbf {p}$ ביחס ל-$\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$. קואורדינטות הקודקודים $\mathbf {x} _{1}=(1,0,0,\ldots ,0),\mathbf {x} _{2}=(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,\mathbf {x} _{n}=(0,0,0,\ldots ,1)$. כאשר הקואורדינטות אינן שליליות, הנקודה $\mathbf {p}$ נמצאת בקמור של $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$, כלומר בתוך הסימפלקס שמוגדר על ידי הקודקודים, $\mathbf {x} _{n}$.

קואורדינטות בריצנטריות כפי שהוגדרו לעיל הן צורה של קואורדינטות הומוגניות. לעיתים מגבילים את ערכי הקואורדינטות כך שיתקיים: $\sum a_{i}=1$.

ראו גם

• קואורדינטות טריליניאריות

קישורים חיצוניים

• קואורדינטות בריצנטריות, באתר MathWorld (באנגלית)