קואורדינטות גאודטיות

קואורדינטות גאודטיות הן סוג של מערכת קואורדינטות אורתוגונלית עקמומית המשמשת בגאודזיה, ומבוססת על אליפסואיד ייחוס. הן כוללות קו רוחב גאודטי (צפון/דרום) ϕ, קו אורך (מזרח/מערב) λ וגובה אליפסואידי h (הידוע גם כגובה גאודטי ). השלשה ידועה גם בתור קואורדינטות אליפסואידיות של כדור הארץ (אין לבלבל עם קואורדינטות אליפסואידיות-הרמוניות או קואורדינטות אליפסואידיות ). לא מדובר בקואורדינטות קרטזיות בגלל העקמומיות של פני כדור הארץ. קואורדינטות גאוגרפיות מבוססות על מערכת צירים זו.

קואורדינטות גאודטיות P(ɸ,λ,h)

הגדרות

קו האורך מודד את זווית הסיבוב בין מרידיאן האפס לנקודה הנמדדת. לפי המוסכמה עבור כדור הארץ, הירח והשמש, הוא מתבטא במעלות הנעות בין 180°– ל־180°+. עבור גופים אחרים נעשה שימוש בטווח של 0° עד 360°. לשם כך, יש צורך לזהות מרידיאן אפס, הנקרא גם המרידיאן הראשי. בכדור הארץ הוא נקבע שרירותית מסיבות היסטוריות בעיירה גריניץ' שבאנגליה. עבור גופים אחרים, בדרך כלל מייחסים את המרידיאן הראשי למאפיין שטח קבוע. למשל, למאדים המרידיאן הראשי הוא המרידיאן העובר דרך המכתש Airy-0. ייתכן שמערכות קואורדינטות רבות ושונות יוגדרו על אותו אליפסואיד התייחסות.

קו הרוחב הגאודטי מודד כמה קרובה לקטבים או לקו המשווה נמצאת נקודה לאורך קו המשווה, והוא מיוצג כזווית מ-90°– עד 90°+, כאשר 0° הוא קו המשווה. קו הרוחב הגאודטי הוא הזווית בין המישור המשווני לקו הנורמלי לאליפסואיד הייחוס. בהתאם למידת הפחיסות של האליפסואיד, הוא עשוי להיות שונה במקצת מקו הרוחב הגאוצנטרי, שהוא הזווית בין המישור המשווני לקו ממרכז האליפסואיד. עבור גופים שאינם כדור הארץ משמשים במקום זאת המונחים קו רוחב פלנטוגרפי וקווי רוחב פלנטוצנטרי.

גובה אליפסואידי (או גובה אליפסואידי), הידוע גם כגובה גאודטי, הוא המרחק בין נקודת העניין למשטח האליפסואיד, המחושב לאורך הווקטור הנורמלי האליפסואידי; הוא מוגדר כמרחק עם סימן, כך שלנקודות בתוך האליפסואיד יש גובה שלילי. בים המלח, למשל, הגובה הזה הוא שלילי. בים, הגובה בדרכך כלל קרוב לאפס, לאור גאות ושפל הגובה יכול לקבל ערכים חיוביים ושליליים.

קואורדינטות גאודטיות לעומת גאוצנטריות

לקו הרוחב הגאודטי ולקו הרוחב הגאוצנטרי יש הגדרות שונות. קו רוחב גאודטי מוגדר כזווית בין המישור המשווני למשטח הנורמלי בנקודה על האליפסואיד, בעוד שקו הרוחב הגאוצנטרי מוגדר כזווית בין המישור המשווני לקו רדיאלי המחבר את מרכז האליפסואיד לנקודה על פני השטח. (ראה איור). בשימוש רגיל, המונח קו רוחב מתייחס לקו רוחב גאודטי. לדוגמה, קו הרוחב המשמש בקואורדינטות גאוגרפיות הוא קו רוחב גאודטי. הסימון הסטנדרטי עבור קו רוחב גאודטי הוא φ. אין סימון סטנדרטי עבור קו רוחב גאוצנטרי; סימונים נפוצים לדוגמה: θ, ψ, φ′.

באופן דומה, גובה גאודטי מוגדר כגובה מעל פני השטח האליפסואיד, נורמלי לאליפסואיד; ואילו גובה גאוצנטרי מוגדר כמרחק לאליפסואיד הייחוס לאורך קו רדיאלי למרכז הגאוגרפי. בשימוש נפוץ ללא פירוט, כמו בתעופה, המונח גובה מתייחס לגובה גאודטי (אפשר עם פירוט מיוחד, כגון בגבהים אורתומטריים ). גובה גאוצנטרי משמש בדרך כלל במסלולים סביב כדור הארץ, כמו במקרה של לוויינים מלאכותיים.

אם עבור יישום מסוים, ההשפעה של הבליטה המשוונית של כדור הארץ אינה משמעותית, (למשל, טיסת חלל בין-כוכבית ), ניתן לפשט את אליפסואיד כדור הארץ לכדור, ובמקרה זה קווי הרוחב הגאוצנטריים והגאודטיים מתלכדים והרדיוס הגאוצנטרי תלוי קווי הרוחב מפושט לממוצע גלובלי של רדיוס כדור הארץ (ראה גם: מערכת קואורדינטות כדורית).

הֲמָרָה

בהינתן קואורדינטות גאודטיות, ניתן לחשב את הקואורדינטות הקרטזיות הגאוצנטריות של הנקודה באופן הבא:

${\begin{aligned}X&={\big (}N+h{\big )}\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&={\big (}N+h{\big )}\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}$

כאשר a ו- b הם הרדיוס המשווני ( חצי ציר ראשי ) והרדיוס הקוטבי ( חצי ציר קטן ), בהתאמה. N הוא הרדיוס האנכי הראשוני של העקמומיות, פונקציה של קו הרוחב ϕ :

$N={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}},$

לעומת זאת, חילוץ ϕ, λ ו- h מהקואורדינטות הקרטזיות יותר מורכב ומצריך בדרך כלל חישוב איטרטיבי שכן ϕ ו- h מעורבים הדדית דרך N :

$\lambda =\operatorname {atan2} (Y,X)$.

$h={\frac {p}{\cos \phi }}-N,$

$\phi =\arctan \left((Z/p)/(1-e^{2}N/(N+h))\right).$

כאשר $p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$. קיימות שיטות מתוחכמות לביצוע המרה זו.

ראו גם

• קואורדינטות גאודטיות מקומיות
• דאטום (גאודזיה)
• גאודזיקה על אליפסואיד
• מערכת קואורדינטות פלנטרית