קואליציה מכריעה

בתורת המשחקים, פונקציית בחירה חברתית היא פונקציה הבוחרת מועמד המועדף על כלל הבוחרים, בהתאם ליחס ההעדפות של כל בוחר.

קואליציה מכריעה היא קואליציה שהיא לבדה מספיקה כדי לנצח (למשל מספיקה להעביר החלטה). כלומר, הבוחרים בקואליציה זו מכריעים לגבי המועמד המועדף.

אם פונקציית הבחירה אינה מונוטונית, יכולה להיות קואליציה מכריעה שאם נוסיף לה שחקן היא תפסיק להיות מכריעה.

הגדרה

אם כל הפרטים בקבוצה $\ S$ מעדיפים את $\ a$ על $\ b$ וכל שאר הפרטים בחברה מעדיפים את $\ b$ על $\ a$ והחברה כולה מעדיפה את $\ a$ על $\ b$ אז הקואליציה של קבוצת הפרטים $\ S$, נקראת קואליציה מכריעה עבור $\ a$ כנגד $\ b$.

באופן פורמלי

תהי $\ F$ פונקציית רווחה חברתית ותהיינה $\ a,b\in A$ שתי אפשרויות שונות. הקואליציה $\ S\subset N$ נקראת מכריעה עבור $\ a$ כנגד $\ b$ (ביחס ל $\ F$) אם לכל $\ P^{N}\in \left(P\left(A\right)\right)^{N}$ המקיים:
1) $\ a\succ _{p_{i}}b$ לכל $\ i\in S$.
2) $\ b\succ _{p_{i}}a$ לכל $\ i\notin S$.
מתקיים $\ a\succ _{F\left(P^{N}\right)}b$.
הקואליציה $\ S$ נקראת מכריעה (ביחס ל $\ F$) אם קיים זוג אפשרויות שהיא מכריעה עבורו.

חשיבות

לקואליציה מכריעה יש חשיבות רבה בהוכחת משפט ארו (Arrow, 1951).
בעזרת מושג זה מוכיחים מספר משפטי עזר חשובים המהווים בסיס להוכחת המשפט.

ראו גם

• מונחים בתורת המשחקים
• קואליציה במשחק שיתופי

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946