קוואזי-חבורה

באלגברה מופשטת, קוואזי-חבורה (מאנגלית: Quasigroup) או כמו-חבורה היא מבנה אלגברי בעל פעולה בינארית אחת, שבו פעולות הכפל באיבר מימין ומשמאל הן הפיכות. לוח הכפל של קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני, וכל ריבוע לטיני הוא לוח הכפל של קוואזי-חבורה. קוואזי-חבורה עם יחידה נקראת לולאה. כל קוואזי-חבורה אסוציאטיבית היא חבורה.

מבנים אלגבריים שונים. הוספת תכונה מתאימה מצמצת את המחלקה

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה. אם לולאה איזוטופית לחבורה אז היא איזומורפית אליה.

הגדרה

קבוצה $Q$ עם פעולה בינארית $\cdot$ נקראת קוואזי-חבורה אם לכל $a,b\in Q$ קיימים פתרונות יחידים למשוואות $a\cdot x=b,\quad y\cdot a=b$. פתרונות אלו מסומנים כ-$x=a/b,\quad y=a\setminus b$.

בכל קוואזי-חבורה מתקיימות אם כן הזהויות הבאות: $x\cdot (x/y)=x\setminus (x\cdot y)=y,\quad (x/y)\cdot y=(x\cdot y)/y=x$. מנגד, זהויות אלו מאפשרות להגדיר קוואזי-חבורה: קבוצה $Q$ עם שלוש פעולות בינאריות $(\cdot ,/,\setminus )$ אשר איבריה מקיימים את הזהויות לעיל היא קוואזי-חבורה.

דרך נוספת להגדיר קוואזי-חבורה היא בעזרת ריבועים לטיניים: זהו ריבוע בגודל $n\times n$ בו מסודרים $n$ איברים בשורות ובעמודות, כך שכל איבר מופיע פעם אחת בדיוק בכל שורה ועמודה. קל לראות שכל ריבוע כזה מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה, ושלוח הכפל של כל קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני (כאשר משמיטים את עמודות האיברים המוכפלים).

קוואזי-חבורה עם איבר יחידה, היינו איבר $e\in Q$ המקיים $xe=ex=x$, נקראת לולאה.

איזוטופיה

שתי קוואזי-חבורות $Q,Q'$ הן איזוטופיות זו לזו אם קיימות שלוש העתקות הפיכות $\alpha ,\beta ,\gamma :Q\to Q'$ כך ש-$\gamma (a\cdot b)=\alpha (a)\cdot \beta (b)$ (הכפל בקוואזי-חבורות $Q$ ו-$Q'$ בהתאמה). ברמת הריבועים הלטיניים, איזוטופיה פירושה התמרת שורות ועמודות הריבוע. במקרה $Q=Q'$, ההעתקות כלעיל נקראות אוטוטופיה; קבוצת האוטוטופיות של קוואזי-חבורה נתונה היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה: מתקיים $Q\sim Q(\circ )$, כאשר $Q(\circ )$ היא הלולאה הנבנית מבחירת שני איברים $a,b\in Q$ והגדרת הפעולה $\circ$ על אותה הקבוצה $Q$, כך שמתקיים $x\cdot y=xb\circ ay$. האיזוטופיה נתונה אם כן על ידי $(R_{b},L_{a},\operatorname {id} )$.

מונח האיזוטופיה מאבד משמעות כאשר מדובר בחבורה - שתי חבורות איזוטופיות הן גם איזומורפיות, לפי משפט שהוכיח אלברט. ביתר כלליות, אם לולאה איזוטופית לחבורה, היא גם איזומורפית אליה.

דוגמאות

• קבוצת המספרים השלמים עם פעולת החיסור היא קוואזי-חבורה.
• קבוצת הרציונליים וקבוצת הממשיים השונים מאפס עם פעולת החילוק הן קוואזי-חבורות.
• קבוצת האוקטוניונים השונים מאפס יחד עם פעולת הכפל היא לולאה. האוקטוניונים מהווים לולאת מופן.
• קבוצת האיברים ההפיכים בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מהווים קוואזי-חבורה. אם לאלגברה יש יחידה, קוואזי-חבורה זו הנה גם לולאה.

ראו גם

• מאגמה
• חבורה למחצה
• חבורה

לקריאה נוספת

• Bruck, R.H. (1971). A Survey of Binary Systems.

קישורים חיצוניים

• קוואזי-חבורה, באתר MathWorld (באנגלית)