פתיחת התפריט הראשי

קוואזי-חבורה

מבנים אלגבריים שונים. הוספת תכונה מתאימה מצמצת את המחלקה

באלגברה מופשטת, קוואזי-חבורהאנגלית: Quasigroup) היא מבנה אלגברי בעל פעולה בינארית אחת, שבו פעולות הכפל באיבר מימין ומשמאל הן הפיכות. לוח הכפל של קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני, וכל ריבוע לטיני הוא לוח הכפל של קוואזי חבורה. קוואזי-חבורה עם יחידה נקראת לולאה. לולאה אסוציאטיבית היא חבורה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה. אם לולאה איזוטופית לחבורה אז היא איזומורפית אליה.

הגדרהעריכה

קבוצה Q עם פעולה בינארית   נקראת קוואזי-חבורה אם לכל   קיימים פתרונות יחידים למשוואות  . פתרונות אלו מסומנים כ- .

בכל קוואזי-חבורה מתקיימות אם כן הזהויות הבאות:  . מנגד, זהויות אלו מאפשרות להגדיר קוואזי-חבורה: קבוצה Q עם שלוש פעולות בינאריות   אשר איבריה מקיימים את הזהויות לעיל היא קוואזי-חבורה.

דרך נוספת להגדיר קוואזי-חבורה היא בעזרת ריבועים לטיניים: זהו ריבוע בגודל n-על-n בו מסודרים n איברים בשורות ובעמודות, כך שכל איבר מופיע פעם אחת בדיוק בכל שורה ועמודה. קל לראות שכל ריבוע כזה מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה, ושלוח הכפל של כל קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני (כאשר משמיטים את עמודות האיברים המוכפלים).

קוואזי-חבורה עם איבר יחידה, היינו איבר   המקיים  , נקראת לולאה.

איזוטופיהעריכה

שתי קוואזי-חבורות   נקראת איזוטופיות אם קיימות שלוש העתקות הפיכות   כך ש-  (הכפל בקוואזי-חבורות Q ו-'Q בהתאמה). ברמת הריבועים הלטיניים, איזוטופיה פירושה התמרת שורות ועמודות הריבוע. במקרה 'Q=Q, ההעתקות כלעיל נקראות אוטוטופיה; קבוצת האוטוטופיות של קוואזי-חבורה נתונה היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה: מתקיים  , כאשר   היא הלולאה הנבנית מבחירת שני איברים   והגדרת הפעולה   על אותה הקבוצה Q, כך שמתקיים  . האיזוטופיה נתונה אם כן על ידי  .

מונח האיזוטופיה מאבד משמעות כאשר מדובר בחבורה - שתי חבורות איזוטופיות הן גם איזומורפיות, לפי משפט שהוכיח אלברט. ביתר כלליות, אם לולאה איזוטופית לחבורה, היא גם איזומורפית אליה.

דוגמאותעריכה

ראו גםעריכה

לקריאה נוספתעריכה

  • Bruck, R.H. (1971). A Survey of Binary Systems.