קוטר עלסופי

באנליזה מתמטית של מרחבים מטריים, הקוטר העלסופי של קבוצה קומפקטית הוא מספר המודד את גודל הקבוצה באופן שמדמה פיזור של מטען חשמלי, בדומה לקיבול אלקטרוסטטי. את המושג פיתח מיכאל פקטה, שעסק רבות בנושא.

את הקוטר הרגיל של קבוצה קומפקטית מגדירים כמרחק הגדול ביותר האפשרי בין זוגות של איברים בקבוצה, דהיינו $\ d_{2}(A)=\max {d(x_{1},x_{2})}$, כאשר $\ d(\cdot ,\cdot )$ היא פונקציית המרחק בקבוצה. כהכללה של מושג זה, ניתן להגדיר קוטר מסדר n, המודד את המכפלה הגדולה ביותר של מרחקים בין זוגות נקודות, שאותה אפשר להשיג מפיזור n נקודות בקבוצה. הקוטר מסדר n מוגדר לפי הנוסחה $\ d_{n}(A)=(\max \prod _{1\leq i<j\leq n}{d(x_{i},x_{j})})^{\frac {2}{n(n-1)}}$, כאשר המקסימום נלקח מבין כל הבחירות האפשריות של נקודות $\ x_{1},\dots ,x_{n}\in A$ (הנקודות שבהן המקסימום מתקבל נקראות נקודות פקטה). הגורם $\ {\frac {2}{n(n-1)}}$ בחזקה נבחר כך ש- $\ d_{n}(A)$ הוא הממוצע ההנדסי של המרחקים.

סדרת הערכים $\ d_{n}(A)$ היא סדרה יורדת, כלומר $\ d_{2}(A)\geq d_{3}(A)\geq \dots$, והגבול $\ d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }d_{n}(A)$ נקרא הקוטר העלסופי של $\ A$. תחת הגדרה זו, הקוטר העלסופי של קבוצה סופית הוא אפס, הקוטר העלסופי של מעגל שווה לרדיוס שלו, והקוטר העלסופי של קטע שווה לרבע אורכו של הקטע.

תכונות נוספות של הקוטר העלסופי, כאשר $\ A$ קבוצה במרחב אוקלידי:

• $\ d(\alpha A)=|\alpha |d(A)$ לכל קבוע $\ \alpha$
• אם $\ A_{s}$ קבוצת הנקודות שמרחקן מ-A לכל היותר s, אז הקוטר העלסופי "רציף" במובן הבא: הגבול של $\ d(A_{s})$, כאשר s שואף לאפס, הוא $\ d(A)$
• כאשר $\ A$ קבוצה במישור המרוכב ו- $\ P:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ העתקה פולינומית ממעלה m, אז $\ d(P^{-1}(A))=d(A)^{1/m}$

מקורות

• הערך "Transfinite diameter" ב"אנציקלופדיה של המתמטיקה"

• M. Fekete, "Ueber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten" Math. Z., 17 (1923) pp. 228–249(הקישור אינו פעיל)
• כמה דוגמאות

ראו גם

• רדיוס קונפורמי
• קיבולת (אנליזה מרוכבת)